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标  题: 数学科普：常识性谬误流传令人忧 
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数学科普：常识性谬误流传令人忧 

韩雪涛 
《中华读书报》2001年8月29日

　　2000年，曾被国际数学联盟定为“世界数学年”，其主要宗旨在于“使数学
及其对世界的意义被社会所了解，特别是被普通公众所了解”。这就把数学普及
工作放到了一个显著的位置上。然而，我国在这方面的工作似乎很难乐观。正如
胡作玄老师在《数学上未解的难题》一书中指出的：“本来就相当荒芜的数学科
普领域，充斥着许多东拼西凑的假冒伪劣产品，有的人在抄的方面都不负责任，
其结果是错误百出，误导读者。”诚如胡老师所言！错误事实不断误用的现象在
数学科普界确实普遍存在着。下面举出几个较为典型的例证。 

　　
疏率、约率、密率、祖率

　　中国南北朝时期的著名数学家祖冲之曾得到与圆周率有关的两项重要成果。
其一，他算得圆周率介于3.1415926与3.1415927之间。其二，他用两个分数22／
7与355／113近似表示圆周率。与此相关的，出现了表示这几个数值的称法，但
随之也出现了一些误称。举几例如下： 

　　胡作玄编著的《数学上未解的难题》一书12页： 

　　他（祖冲之）计算的π值介于疏率和密率之间，即： 22/7<π<355/113 

　　可见，胡作玄先生是把22／7称作了疏率。 

　　任现淼编著的《趣味数学365天》144页： 

　　π的疏率22／7和密率355／113。密率又称祖率。 

　　杨世明与王雪芹著《数学发现的艺术》一书144页也把22／7称为疏率。 

　　但关于疏率的称法是错误的。对这一错误的来龙去脉梁宗巨《数学历史典故》

一书240页有清楚地探讨，兹引文如下： 

　　22／7明明写的是“约率”，但相当多的文章却误写成“疏率”，这可能出
版一个偶然的印刷错误（或笔误）。如章克标《算学的故事》（开明书店，1935）

P140正确地写成约率，但在P201上却误写成疏率。1951年2月10日《人民日报》3
版发表华罗庚《数学是我国人民所擅长的学科》……文中提到“（祖冲之）用22
／7及355／113做疏率和密率”……后来大量的书刊沿用了“疏率”这个名称。
其实华罗庚在《从祖冲之的圆周率谈起》（1962年6月）一书中早已将这种叫法
改正过来，并把《隋书》的原文列在书前，又在密率和约率的下面加上重点，以
引起注意。然而直到最近还有人墨守疏率这个不正确的名称。 

　　梁宗巨的这一段话已经把疏率问题解释得非常清楚了。 

　　但对于祖率问题却还存在一些疑问。 

　　在同一本书的241、242页，梁宗巨先生探讨了祖率问题，并指出“祖率”应
该是指祖冲之的密率。 

　　解恩泽、徐本顺主编的《世界数学家思想方法》一书157页： 

　　故日本数学大学家三上义夫在1912年提出应称π＝355／113为“祖率”。 

　　但沈康身《中算导论》387页认为 

　　祖冲之“算学功绩甚伟大，在刘宋之末，已于其《缀术》中记载圆周率算定
之事，予在《中日算学发达史》言此率 

　　3.1415926＜π＜3.1415927 

　　称祖率为适当。” 

　　由此可见，“祖率”之称来自于日本数学史家三上义夫是确切无误的。但究
竟他所指的祖率是否等同于密率，所需要的是查看他的原文。可惜我手中没有原
始资料，无法对这一问题做出结论。这种澄清有赖于手中有此材料的同志了。 

　　
莱布尼兹、二进制、《易经》 


　　《中华读书报》第338期曾有一专版用了一版的篇幅评一套丛书《中国人的
智慧丛书》。但书评中却出现了一些常识性的错误。如书评中有一段： 

　　“值得注意的是，外国人赖以建立的种种基本发明，大都源于中国，……就
是现代计算机的二进制，也来自于中国的八卦，因为八卦的阴阳爻可以组成64种
符号，而二进制恰好对应于现代计算机的电路通断。因为仰慕中国的古代文化，
莱布尼兹把一台计算机送给了康熙皇帝。” 

　　由于这一套丛书我没有见到，所以不知上述说法是书中存在的抑或是书评者
自己的观点。但可以肯定的是，现代计算机的二进制来自于中国的八卦，早已被
证明是一个神话。对这一错误，郭书春在《古代世界数学泰斗刘徽》一书461页
指出： 

　　国内有所谓《周易》创造了二进制的说法，至于莱布尼兹受《周易》八卦的
影响创造二进制并用于计算机的神话，更是广为流传。几年前，这个神话还被人
用来作为否定取消基础理论科学研究的根据。事实是，莱布尼兹先发明了二进制，

后来才看到传教士带回的宋代学者重新编排的《周易》八卦，并发现八卦可以用
他的二进制来解释。 

　　梁宗巨著《数学历史典故》一书14～18页对这一历史公案有更加详尽考察，
想进一步了解者可参考。 

　　
三环亲和数链 


　　所谓亲和数是指一对数，每一个数的所有真因子之和都恰等于另一个数。如
220与284就是最早发现的一对亲和数。后来，亲和数又被推广到亲和数链。一个
亲和数链满足：第一个数的所有真因子之和等于第二个数；第二个数的所有真因
子之和等于第三个数，依此类推，最后一个数的所有真因子之和等于第一个数。
现在所发现的最大的亲和数链有28个数组成，但是有没有三环亲和数链呢？ 

　　贾庆祥《漫游自然数王国》一书17页： 

　　不过，奇怪的是，至今还没有发现三环亲和数链。难道在自然数王国里不存
在“刘、关、张桃园三结义”吗？ 

　　任现淼编著的《趣味数学365天》87页： 

　　恰好有三个“环”的亲和数链称为“伙”（Crowd），目前尚未发现
“伙”。 

　　在王志雄著《数学美食城》一书695页也指出： 

　　至今，我们还没有发现亲和3数圈。 


　　到底现在有没有发现三环亲和数链呢？ 

　　英国人西蒙·辛格著，薛密译的《费马大定理》一书第57页给出了一个三元
数组：1945330728960；2324196638720；2615631953920；书中指出这个三元数
组中“第一个数的因数加起来等于第二个数，第二个数的因数加起来等于第三个
数，而第三个数和因数加起来等于第一个数。”因而这三个数恰好构成了一个三
环亲和数链。 

　　顺便指出一点，该书的这一页中说“1866年，60岁的意大利人尼科洛·帕格
尼尼发现了这一对亲和数1184和1210”。这里不知是译者的错误，还是印刷的错
误：60岁应为16岁。 

　　
克莱因瓶问题 


　　谈祥柏先生作为数学科普名家，著述很多。但在他的作品中，也存在着某些
疏漏之处。在他著的《数学广角镜》一书115、118、119页写道： 

　　事实上，德国数学家克莱因就曾提出了“不可能”设想，即拓扑学的大怪物
克莱因瓶。……这种瓶子根本没有内、外之分，无论从什么地方穿透曲面，到达
之处依然在瓶的外面，所以，它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。 

　　尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进……但是，所谓的“克莱因瓶”，却始

终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。 

　　……许多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼
物。然而，等待他们的是一个失败接着一个失败。 

　　……也有人认为，即使造不出玻璃制品，能造出一个纸模型也不错呀。如果
真的解决了这个问题，那可是个大收获啊！ 

　　但实际上，克莱因瓶已经被人制造出来了。在郭凯声等编著的《数学游戏》
（下）一书的“玻璃克莱因瓶”一文中有清楚的介绍。兹引录部分如下： 

　　Alan Bennett是英国贝德福德的一位玻璃吹制工。几年前，他开始对拓
扑学中出现的各种神秘的形状——墨比乌斯带、克莱因瓶等等——发生兴趣，并
遇到了一个新奇的难题，数学家本会通过计算来尝试解决这个难题，而Benne tt
则用玻璃解决了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就将成为伦敦科学博
物馆中的一项永久性陈列品。（见书的第9页） 

　　彩图1示出了Bennett吹出的一个玻璃克莱因瓶。（见书的第10页） 

　　在书174页之后附的彩图1给出了他用玻璃吹制出的只有一个面的表面的克莱
因瓶，并且还有一些其它种类的克莱因瓶。 

　　在吴文俊主编的《中国数学史大学》第一卷中曾专门分析了各种数学图书中
的错误出现以及流传的原因。 

　　书中指出“引用的资料一定要可靠，要做到可靠必须亲自过目每一项资料。
不亲自查阅所引用的资料，往往要出问题，即使查阅了还要弄懂，引用时也不要
断章取义……还有更糟的研究者，他们只是想当然地下了结论，根本没去找资料。

例如前面提到的那个关于2500年前中国人验证过当a＝2时费马定理的逆定理的例
子，是由于引申在西方造成了错误，长期来互相引用，但是没有人去核实资料，
以致到不久前仍在著作中出现。严敦杰早已指出了这个问题以及造成错误的根源，

大约是由于文字的关系，在西方没有起到应有的作用。” 

　　最后这一段话还指出错误流传的主要原因：许多写作者在引用别人的东西时，

没有去核实资料。这既有写作者态度不够严谨的因素，也与相关的资料查找困难
有关。而信息不畅通也是一些错误得以继续流传的重要因素（胡作玄、谈祥柏等
写作态度严谨的作者的疏漏恐怕更多要归因于后者吧）。而问题的严重性更在于
一些错误只要在一本科普书上出现，很快就能蔓延开来，造成星火燎原之势。尤
其是当最初的错误出自于名家之手时，情况更是如此。如何能够避免这种以讹传
讹的局面呢？一个念头进入我的心头：凭贵刊的影响力，如果能开辟一个小的版
面，做《咬文嚼字》那样的工作，或许会有助于情况的转变吧！ 

　　正是出于这一想法，有了这篇抛砖引玉之文。若能引起数学科普工作者的关
注与讨论，从而有益于上述情况的转变，有益于数学科普事业的良性发展，那将
是我真诚期望的。　　 

编后：对于科普图书而言，科学性、准确性无疑是第一位的事情，如果出错，难
免贻误大量的读者。然而，目前国内科普图书在科学性的问题上是不能令人满意
的。本文作者分析了数学科普中几例流传颇广的谬误，并特别分析了出现问题的
原因，给科普图书的编辑、作者提了个醒。由于版面所限，本报虽然不可能像
《咬文嚼字》那样专注于科普或科学图书“纠错”，但我们对那些客观、中肯、
批评性的评论和书评文章表示特别的欢迎。 
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