HITSY 版 (精华区)

发信人: lrping (不谈恋爱), 信区: HITSY
标  题: NP问题和NPC问题
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年10月19日12:50:08 星期天), 站内信件

什么叫做NP问题，什么叫做NPC问题?
首先说明一下问题的复杂性和算法的复杂性的区别，下面只考虑时间复杂性。算法的复杂
性是指解决问题的一个具体的算法的执行时 
间，这是算法的性质；问题的复杂性是指这个问题本身的复杂程度，是问题的性质。比如
对于排序问题，如果我们只能通过元素间的相互比较 

来确定元素间的相互位置，而没有其他的附加可用信息，则排序问题的复杂性是O(nlgn)，
但是排序算法有很多，冒泡法是O(n^2)，快速排序平

均情况下是O(nlgn)等等，排序问题的复杂性是指在所有的解决该问题的算法中最好算法的
复杂性。问题的复杂性不可能通过枚举各种可能算法

来得到，一般都是预先估计一个值，然后从理论上证明。
为了研究问题的复杂性，我们必须将问题抽象，为了简化问题，我们只考虑一类简单的问
题，判定性问题，即提出一个问题，只需要

回答yes或者no的问题。任何一般的最优化问题都可以转化为一系列判定性问题，比如求图
中从A到B的最短路径，可以转化成：从A到B是否有长

度为1的路径？从A到B是否有长度为2的路径？。。。从A到B是否有长度为k的路径？如果问
到了k的时候回答了yes，则停止发问，我们可以说从

A到B的最短路径就是k。
如果一个判定性问题的复杂度是该问题的一个实例的规模n的多项式函数，则我们说这种可
以在多项式时间内解决的判定性问题属于P

类问题。P类问题就是所有复杂度为多项式时间的问题的集合。
然而有些问题很难找到多项式时间的算法（或许根本不存在），比如找出无向图中的哈米
尔顿回路问题，但是我们发现如果给了我们

该问题的一个答案，我们可以在多项式时间内判断这个答案是否正确。比如说对于哈米尔
顿回路问题，给一个任意的回路，我们很容易判断他

是否是哈米尔顿回路（只要看是不是所有的顶点都在回路中就可以了）。这种可以在多项
式时间内验证一个解是否正确的问题称为NP问题。显

然，所有的P类问题都是属于NP问题的，但是现在的问题是，P是否等于NP?这个问题至今还
未解决。注意，NP问题不一定都是难解的问题，比如

简单的数组排序问题是P类问题，但是P属于NP，所以也是NP问题，你能说他很难解么？


刚才说了，现在还不知道是否有P=NP或者P<>NP，但是后来人们发现还有一系列的特殊NP问
题，这类问题的特殊性质使得很多人相信P<>NP，只

不过现在还无法证明。这类特殊的NP问题就是NP完全问题（NPC问题，C代表complete）。N
PC问题存在着一个令人惊讶的性质，即如果一个NPC

问题存在多项式时间的算法，则所有的NP问题都可以在多项式时间内求解，即P=NP成立！
！这是因为，每一个NPC问题可以在多项式时间内转化

成任何一个NP问题。比如前面说的哈米尔顿回路问题就是一个NPC问题。NPC问题的历史并
不久，cook在1971年找到了第一个NPC问题，此后人们

又陆续发现很多NPC问题，现在可能已经有3000多个了。所以，我们一般认为NPC问题是难
解的问题，因为他不太可能存在一个多项式时间的算

法（如果存在则所有的NP问题都存在多项式时间算法，这太不可思议了，但是也不是不可
能）。
类似哈米尔顿回路/路径问题，货郎担问题，集团问题，最小边覆盖问题（注意和路径覆盖
的区别），等等很多问题都是NPC问题，所以都是难解的问题

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                 走过这么长的路,才发现爱情是如此的美丽 
                      走过这么长的路,才发现爱情是如此的伤心     
                          虽然从此以后,我不会再对你说 我爱你
                                 你给我的那段时光,我真的要对你说
                                         --- 谢谢你

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