Algorithm 版 (精华区)

发信人: sino (茶水), 信区: Algorithm
标  题: 回归数猜想(zz)
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年08月28日21:11:12 星期三), 站内信件

【回归数猜想】

   

 英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象:

     153=13+53+33  371=33+73+13  370=33+73+03  407=43+03+73

他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为
称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等 于各位数字四(五,
六)次幂之和的四(五,六)位数:

 1634=14+64+34+44 54748=55+45+75+45+85   548834=56+46+86+86+36+46

像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数.本文
只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样 的自然数 n 有回
归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有
多少个回归数?
 1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 
位数成为回归数的 n 只有有限个.
 设 An 是这样的回归数,即:

  An=a1a2a3...an=a1n+a2n+...+ann (其中 0<=a1,a2,...an<=9)

  从而 10n-1<=An<=n9n 即 n 必须满足 n9n>10n-1 也就是 (10/9)n<10n      ⑴


  随着自然数 n 的不断增大,(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不
成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个. 进一步的计算表明

  (10/9)60=556.4798...<10*60=600       (10/9)61=618.3109...>10*61=610

  对于 n>=61,便有 (10/9)n>10n

由此可知,使⑴式成立的自然数 n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的
学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归 数:

  一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9
  二位回归数:不存在
  三位回归数:153,370,371,407
  四位回归数:1634,8208,9474
  五位回归数:54748,92727,93084
  六位回归数:548834
  七位回归数:1741725,4210818,9800817
  八位回归数:24678050,24678051
但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的 n ,能有多少个
回归数?最大的回归数是多少?


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                御剑乘风来，除魔天地间。
                有酒乐逍遥，无酒我亦癫。
                一饮尽江河，再饮吞日月。
                千杯醉不倒，唯我酒剑仙。
                

※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.239.224]
※ 修改:·sino 於 08月28日21:11:30 修改本文·[FROM: 202.118.239.224]