Algorithm 版 (精华区)

发信人: sino (茶水), 信区: Algorithm
标  题: 反序数问题(zz)
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年08月28日21:14:37 星期三), 站内信件

【反序数问题】

将一个十进制数的各位数字按相反的顺序重新排列成一个正整数,则称这两个数互
为反序数.数a的反序数记为rev(a).例 如,rev(42)=24,
rev(180)=81.如果rev(a)=a,则称为回文数,如15351.
   人们注意到65+56=112,65-56=32 .即这一对反序数65与56的和,差都是平方数.
这样的数还有:
           621770+77126=8362,621770-77126=7382  .
不难证明,形如(2*10n + 2)2/2 ,(2*102n + 2*10n + 2)2/2 ,(2*103n+m + 
2*102n+m + 2*10n + 2)2/2 的回文数都具有上述 性质,其中n是自然数,m是非负整
数.
   除了这些回文数之外,还有多少个正整数a使得a+/-rev(a)都是完全平方数?
   中国科学院的张建对此进行了研究.他将原问题变换为下列等价问题:
   求自然数组(m,n),m>n,使得(m2+n2)/2与(m2-n2)/2互为反序数,且满足条件
   (一)m与n奇偶性相同
   (二)n能被3整除.
其中条件(一)可以保证(m2+/-n2)/2都是整数,而条件(二)是因为反序数之差能被9
整除,例如,
   (abc)-(cba)=(a*102+b*10+c)-(c*102+b*10+a)=99(a-c)
   而现在反序数之差为(m2+n2)/2-(m2-n2)/2=n2  .故n2 能被9整除.在计算机上
计算数小时后,得出如下结果:
   在不超过1010的自然数中,只有五个数满足要求,除了前面已经给出的两个外,另
外三个是:
   281089082 + 280980182 = 237082,差 = 3302
   2022652202 + 2022562202 = 636022,差 = 3002
   2042832002 + 2002382402 = 636022,差 = 63602
这种数究竟有多少?是有限个还是无穷多个?它们有何特性?还有待我们去研究,去发
现.



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    ... 这一阵歌声传入湖边一个道姑耳中。她在一排柳树下悄立已久，

  晚风拂动她杏黄色道袍的下摆，拂动她颈中所插拂尘的万缕柔丝，心

  头思潮起伏，当真亦是「芳心只共丝争乱」 ...

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