Algorithm 版 (精华区)

发信人: AA (积极的人生、美好的人生), 信区: Algorithm
标  题: 分析--外星人计算Pi的程序(zz)
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年05月23日07:35:30 星期四), 站内信件


一、源程序
本文分析下面这个很流行的计算PI的小程序。下面这个程序初看起来似乎摸不到头
脑，
不过不用担心，当你读完本文的时候就能够基本读懂它了。
程序一：很牛的计算Pi的程序
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main() {
 for(;b-c;)
    f[b++]=a/5;
 for(;d=0,g=c*2;c -=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)
    for(b=c; d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b; d*=b);
}
二、数学公式
数学家们研究了数不清的方法来计算PI,这个程序所用的公式如下：
          1          2          3                    k
pi = 2 + --- * (2 + --- * (2 + --- * (2 + ...  (2 + ---- * (2 + ... )).
..)))

          3          5          7                   2k+1
至于这个公式为什么能够计算出PI，已经超出了本文的能力范围。
下面要做的事情就是要分析清楚程序是如何实现这个公式的。
我们先来验证一下这个公式：
程序二：Pi公式验证程序
#include "stdio.h"
void main()
{
   float pi=2;
   int  i;
   for(i=100;i>=1;i--)
      pi=pi*(float)i/(2*i+1)+2;
   printf("%f\n",pi);
   getchar();
}
上面这个程序的结果是3.141593。
三、程序展开
在正式分析程序之前，我们需要对程序一进行一下展开。我们可以看出程序一都是
使用
for循环来完成计算的，这样做虽然可以使得程序短小，但是却很难读懂。根据
for循环
的运行顺序，我们可以把它展开为如下while循环的程序：
程序三：for转换为while之后的程序
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main() {
 int i;
 for(i=0;i<c;i++)
     f[i]=a/5;
 while(c!=0)
     {
         d=0;
         g=c*2;
         b=c;
         while(1)
            {
                d=d+f[b]*a;
                g--;
                f[b]=d%g;
                d=d/g;
                g--;
                b--;
                if(b==0) break;
                d=d*b;
            }
         c=c-14;
         printf("%.4d",e+d/a);
         e=d%a;
    }
}
注：
for([1];[2];[3]) {[4];}
的运行顺序是[1],[2],[4],[3]。如果有逗号操作符，例如：d=0,g=c*2，则先运行
d=0,
然后运行g=c*2,并且最终的结果是最后一个表达式的值，也就是这里的c*2。
下面我们就针对展开后的程序来分析。
四、程序分析
要想计算出无限精度的PI，我们需要上述的迭代公式运行无数次，并且其中每个分
数也
是完全精确的，这在计算机中自然是无法实现的。那么基本实现思想就是迭代足够
多次
，并且每个分数也足够精确，这样就能够计算出PI的前n位来。上面这个程序计算
800位
，迭代公式一共迭代2800次。
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
这句话中的2800就是迭代次数。
由于float或者double的精度远远不够，因此程序中使用整数类型（实际是长整型
），分
段运算（每次计算4位）。我们可以看到输出语句 printf("%.4d",e+d/a); 其中
%.4就是
把计算出来的4位输出，我们看到c每次减少14（ c=c-14;），而c的初始大小为
2800，因
此一共就分了200段运算，并且每次输出4位，所以一共输出了800位。
由于使用整型数运算，因此有必要乘上一个系数，在这个程序中系数为1000，也就
是说
，公式如下：
               1          2          3                    k
1000*pi = 2k+ --- * (2k+ --- * (2k+ --- * (2k+ ...  (2k+ ---- * (2k+ ...
 )).
..)))
               3          5          7                   2k+1
这里的2k表示2000，也就是f[2801]数组初始化以后的数据,a=10000,a/5=2000,所
以下面
的程序把f中的每个元素都赋值为2000：
 for(i=0;i<c;i++)
     f[i]=a/5;
你可能会觉得奇怪，为什么这里要把一个常数储存到数组中去，请继续往下看。
我们先来跟踪一下程序的运行：
 while(c!=0)  假设这是第一次运行，c=2800，为迭代次数
     {
         d=0;
         g=c*2;  这里的g是用来做k/(2k+1)中的分子
         b=c;    这里的b是用来做k/(2k+1)中的分子
         while(1)
            {
                d=d+f[b]*a; f中的所有的值都为2000，这里在计算时又把系数
扩大了
a=10000倍。

                                            这样做的目的稍候介绍，你可以
看到
输出的时候是d/a,所以这不影
                        计算
                g--;
                f[b]=d%g; 先不管这一行
                d=d/g;   第一次运行的g为2*2799+1，你可以看到g做了分母
                g--;
                b--;
                if(b==0) break;
                d=d*b; 这里的b为2799，可以看到d做了分子。
            }
         c=c-14;
         printf("%.4d",e+d/a);
         e=d%a;
    }
只需要粗略的看看上面的程序，我们就大概知道它的确是使用的那个迭代公式来计
算Pi
的了，不过不知道到现在为止你是否明白了f数组的用处。如果没有明白，请继续
阅读。

d=d/g,这一行的目的是除以2k+1，我们知道之所以程序无法精确计算的原因就是这
个除
法。即使用浮点数，答案也是不够精确的，因此直接用来计算800位的Pi是不可能
的。那
么不精确的成分在哪里？很明显：就是那个余数d%g。程序用f数组把这个误差储存
起来
，再下次计算的时候使用。现在你也应该知道为什么d=d+f[b]*a;中间需要乘上a了
吧。
把分子扩大之后，才好把误差精确的算出来。
d如果不乘10000这个系数，则其值为2000，那么运行d=d/g；则是
2000/(2*2799+1)，这
种整数的除法答案为0，根本无法迭代下去了。
现在我们知道程序就是把余数储存起来，作为下次迭代的时候的参数，那么为什么
这么
做就可以使得下次迭代出来的结果为
接下来的4位数呢？
这实际上和我们在纸上作除法很类似：
       0142
    /——------
 7 /   1
       10
        7
---------------
        30
    28
---------------
         20
         14
---------------
          60
     .....
我们可以发现，在做除法的时候，我们通常把余数扩大之后再来计算，f中既然储
存的是
余数，而f[b]*a;则正好把这个余数扩大了a倍，然后如此循环下去，可以计算到任
意精
度。
这里要说明的是，事实上每次计算出来的d并不一定只有4位数，例如第一次计算的
时候
，d的值为31415926，输出4位时候，把低四位的值储存在e中间，e=d%a，也就是
5926。

最后，这个c=c-14不太好理解。事实上没有这条语句，程序计算出来的仍然正确。
只是
因为如果迭代2800次，无论分数如何精确，最后Pi的精度只能够达到800。
你可以把程序改为如下形式尝试一下：
 for(i=0;i<800;i++)
     {
         d=0;
         g=c*2;
         b=c;
         while(1)
            {
                d=d+f[b]*a;
                g--;
                f[b]=d%g;
                d=d/g;
                g--;
                b--;
                if(b==0) break;
                d=d*b;
            }
        // c=c-14; 不要这句话。
         printf("%.4d",e+d/a);
         e=d%a;
    }
最后的答案仍然正确。
不过我们可以看到内循环的次数是c次，也就是说每次迭代计算c次。而每次计算后
续位
数的时候，迭代次数减少14，而不影响精度。为什么会这样，我没有研究。另外最
后的
e+d/a,和e=d/a的作用就由读者自己考虑吧。

--
                人世间的事谁也无法掌握
                  该执著的  永不怨悔
                  改舍去的  不在牵挂
                  改珍惜的  好好把握

※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: NLPCenter.hit.edu.cn]