Algorithm 版 (精华区)

发信人: sino (茶水), 信区: Algorithm
标  题: 6174猜想(zz)
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年08月28日21:15:36 星期三), 站内信件

【6174猜想】

1955年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换:任给出四位数k0,用
它的四个数字由大到小重新排列成一个四位 数m,再减去它的反序数rev(m),得出数
k1=m-rev(m),然后,继续对k1重复上述变换,得数k2.如此进行下去,卡普耶卡发现,
无论 k0是多大的四位数,
只要四个数字不全相同,最多进行7次上述变换,就会出现四位数6174.例如:
k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,
k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,
k6=7641-1467=6174.
后来,这个问题就流传下来,人们称这个问题为"6174问题",上述变换称为卡普耶卡
变换,简称 K 变换.
一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0(不一定是
四位数),然后从k0开始不断地作K变换,得出 数k1,
k2,k3,...,则必有某个m(m=<7),使得km=6174.
更一般地,从0,1,2,...,9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0(不一定是
n位数),然后,从k0开始不断地做K变换,得 出k1,k2,...,那么结果会是怎样的呢?现
在已经知道的是:
n=2,只能形成一个循环:(27,45,09,81,63).例如取两个数字7与3,连续不断地做K变
换,得出:36,27,45,09,81,27,...出现循 环.
n=3,只能形成一个循环:(495).
n=4,只能形成一个循环:(6174).
n=5,已经发现三个循环:(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,
61974,82962,75933).
n=6,已经发现三个循环:(642654,...),(631764,...),(549945,...).
n=7,已经发现一个循环:(8719722,...).
n=8,已经发现四个循环:(63317664),(97508421),(83208762,...),(86308632,...
)
n=9,已经发现三个循环:(864197532),(975296421,...),(965296431,...)
容易证明,对于任何自然数n>=2,连续做K变换必定要形成循环.这是因为由n个数字
组成的数只有有限个的缘故.但是对于n>=5, 循环
的个数以及循环的长度(指每个循环中所包含数的个数)尚不清楚,这也是国内一些
数学爱好者热衷于研究的一个课题.


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                御剑乘风来，除魔天地间。
                有酒乐逍遥，无酒我亦癫。
                一饮尽江河，再饮吞日月。
                千杯醉不倒，唯我酒剑仙。
                

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