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5.3.3 矩阵分解

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矩阵分解 (decomposition, factorization)是多半将矩阵拆解为数个三角形矩阵
(triangular matrix)，依使用目的的不同，可分为三种矩阵分解法：1)三角分解法 
(Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 
(Singular Value Decompostion)。


(1) 三角分解法


三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵　或是排列(permuted) 
的上三角形矩阵　和一个下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在
简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种
分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵，此
两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。 


我们举以下二个矩阵为例： 

 

利用三角分解法可将A和B二矩阵分别拆解为上下三角形矩阵 

 

注意B分解的矩阵得到的第一个矩阵[LB]是排列的下三角形矩阵，如果第二、三列互换，
则此变成完全的下三角形矩阵。 


以MATLAB函数计算上述的LU分解法，其语法为[L,U]=lu(A)，其中L代表下三角形矩阵U代
表上三角形矩阵。我们来看一个例子。 

>> A = [1 2 -1, -2 -5 3; -1 -3 0]; B=[1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7]; 

>> [L1,U1] = lu(A); [L2,U2] = lu(B); 

>> L1; U1 

L1 = % 注意这个矩阵L1和之前的[LA]不相同 

-0.5 1 0 

1 0 0 

0.5 1 1 

U1 = % 注意这个矩阵U1和之前的[UA]不相同 

-2 -5 3 

0 -0.5 0.5 

0 0 -2 

>> L2; U2 

L2 = % 注意这个矩阵L2和之前的[LB]不相同 

-0.5 0 1 

1 0 0 

-1 1 0 

U2 = % 注意这个矩阵U2和之前的[UB]不相同 

-2 -6 1 

0 -1 8 

0 0 2.5


(2) QR分解法


QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵。还记得先前我们介绍的正规
正交矩阵Q满足的条件吗！所以称为QR分解法与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。 


MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为[Q,R]=qr(A)，其中Q代表正规正交矩阵，而R
代表上三角形矩阵。此外，原矩阵A不必为正方矩阵；如果矩阵A大小为，则矩阵Q大小为
，矩阵R大小为。 
(3) 奇异值分解法 

奇异值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可
靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V
代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。和QR分解法相同者，原矩阵A不必为正方矩
阵。 

使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。 



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行至水穷处，坐看云起时
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菩提本无树，明镜亦非台
本来无一物，何处染尘埃

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