发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Matlab
标 题: 五一大餐之算法学习
发信站: BBS 哈工大紫丁香站 (Sun May 9 16:17:27 2004)
发信站: 我爱南开站
一、迭代法
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用
某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1） 选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2） 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（3） 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认
为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
【算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1)； /*按特定的方程计算新的近似根*/
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；
}
迭代算法也常用于求方程组的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
设方程组为：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)
则求方程组根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程组的根
{ for (i=0;i<n;i++)
x[i]=初始近似根;
do {
for (i=0;i<n;i++)
y[i]=x[i];
for (i=0;i<n;i++)
x[i]=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)
if (fabs(y[i]-x[i])>delta)
delta=fabs(y[i]-x[i])；
} while (delta>Epsilon)；
for (i=0;i<n;i++)
printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x[i])；
printf(“\n”)；
}
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（1） 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循
环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限
制；
（2） 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也
会导致迭代失败。
二、穷举搜索法
穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并
从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。
【问题】 将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取
[1，6]上的整数，且均不相同。求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。如图就
是一个解。
程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的证书，在它们互不相同的
条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即
为一种满足要求的排列，把它们输出。当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全
部可能的解。细节见下面的程序。
【程序1】
# include <stdio.h>
void main()
{ int a,b,c,d,e,f;
for (a=1;a<=6;a++)
for (b=1;b<=6;b++) {
if (b==a) continue;
for (c=1;c<=6;c++) {
if (c==a)||(c==b) continue;
for (d=1;d<=6;d++) {
if (d==a)||(d==b)||
(d==c) continue;
for (e=1;e<=6;e++) {
if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;
f=21-(a+b+c+d+e);
if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {
printf(“%6d,a);
printf(“%4d%4d”,b,f);
printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);
scanf(“%*c”);
}
}
}
}
}
}
按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。如问题改成有9个变量排成三角形，每条
边有4个变量的情况，程序的循环重数就要相应改变。
对一组数穷尽所有排列，还有更直接的方法。将一个排列看作一个长整数，
则所有排列对应着一组整数。将这组整数按从小到大的顺序排列排成一个整数，从对应
最小的整数开始。按数列的递增顺序逐一列举每个排列对应的每个整数，这能更有效地
完成排列的穷举。从一个排列找出对应数列的下一个排列可在当前排列的基础上作部分
调整来实现。倘若当前排列为1，2，4，6，5，3，并令其对应的长整数为124653。要寻
找比长整数124653更大的排列，可从该排列的最后一个数字顺序向前逐位考察，当发现
排列中的某个数字比它前一个数字大时，如本例中的6比它的前一位数字4大，这说明还
有对应更大整数的排列。但为了顺序从小到大列举出所有的排列，不能立即调整得太
大，如本例中将数字6与数字4交换得到的排列126453就不是排列124653的下一个排列。
为了得到排列124653的下一个排列，应从已经考察过的那部分数字中选出比数字大，但
又是它们中最小的那一个数字，比如数字5，与数字4交换。该数字也是从后向前考察过
程中第一个比4大的数字。5与4交换后，得到排列125643。在前面数字1，2，5固定的情
况下，还应选择对应最小整数的那个排列，为此还需将后面那部分数字的排列顺序颠
倒，如将数字6，4，3的排列顺序颠倒，得到排列1，2，5，3，4，6，这才是排列1，2，
4，6，5，3的下一个排列。按以上想法编写的程序如下。
【程序2】
# include <stdio.h>
# define SIDE_N 3
# define LENGTH 3
# define VARIABLES 6
int A,B,C,D,E,F;
int *pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};
int *side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};
int side_total[SIDE_N];
main{}
{ int i,j,t,equal;
for (j=0;j<VARIABLES;j++)
*pt[j]=j+1;
while(1)
{ for (i=0;i<SIDE_N;i++)
{ for (t=j=0;j<LENGTH;j++)
t+=*side[i][j];
side_total[i]=t;
}
for (equal=1,i=0;equal&&i<SIDE_N-1;i++)
if (side_total[i]!=side_total[i+1]
equal=0;
if (equal)
{ for (i=1;i<VARIABLES;i++)
printf(“%4d”,*pt[i]);
printf(“\n”);
scanf(“%*c”);
}
for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)
if (*pt[j]>*pt[j-1]) break;
if (j==0) break;
for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)
if (*pt[i]>*pt[i-1]) break;
t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt[i]; *pt[i]=t;
for (i=VARIABLES-1;i>j;i--,j++)
{ t=*pt[j]; *pt[j] =* pt[i]; *pt[i]=t; }
}
}
从上述问题解决的方法中，最重要的因素就是确定某种方法来确定所有的候选解。下面
再用一个示例来加以说明。
【问题】 背包问题
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择
方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。
设n个物品的重量和价值分别存储于数组w[ ]和v[ ]中，限制重量为tw。考虑一个n元组
（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0 表示第i个物品没有选取，而xi=1则表示第i个物品被
选取。显然这个n元组等价于一个选择方案。用枚举法解决背包问题，需要枚举所有的选
取方案，而根据上述方法，我们只要枚举所有的n元组，就可以得到问题的解。
显然，每个分量取值为0或1的n元组的个数共为2n个。而每个n元组其实对应了一个长度
为n的二进制数，且这些二进制数的取值范围为0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分别转化
为相应的二进制数，则可以得到我们所需要的2n个n元组。
【算法】
maxv=0;
for (i=0;i<2n;i++)
{ B[0..n-1]=0;
把i转化为二进制数，存储于数组B中;
temp_w=0;
temp_v=0;
for (j=0;j<n;j++)
{ if (B[j]==1)
{ temp_w=temp_w+w[j];
temp_v=temp_v+v[j];
}
if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv))
{ maxv=temp_v;
保存该B数组；
}
}
}
三、递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求
问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造
算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能
从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可
从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至
得到规模为N的解。
【问题】 阶乘计算
问题描述：编写程序，对给定的n（n≦100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，
n）的全部有效数字。
由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整
数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储：
N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘
k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，
5！=120，在数组中的存储形式为：
3 0 2 1 ……
首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。
计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已
知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。
# include <stdio.h>
# include <malloc.h>
# define MAXN 1000
void pnext(int a[ ],int k)
{ int *b,m=a[0],i,j,r,carry;
b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));
for ( i=1;i<=m;i++) b[i]=a[i];
for ( j=1;j<=k;j++)
{ for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
{ r=(i<a[0]?a[i]+b[i]:a[i])+carry;
a[i]=r%10;
carry=r/10;
}
if (carry) a[++m]=carry;
}
free(b);
a[0]=m;
}
void write(int *a,int k)
{ int i;
printf(“%4d！=”,k);
for (i=a[0];i>0;i--)
printf(“%d”,a[i]);
printf(“\n\n”);
}
void main()
{ int a[MAXN],n,k;
printf(“Enter the number n: “);
scanf(“%d”,&n);
a[0]=1;
a[1]=1;
write(a,1);
for (k=2;k<=n;k++)
{ pnext(a,k);
write(a,k);
getchar();
}
}
四、递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经
常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它
分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规
模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小
问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。
【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。
斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>1时）。
写成递归函数有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题
（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，
求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计
算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-
4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必
须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。
在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的
解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和
fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用
层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一
系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算
法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算
法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐
波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。
【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有
组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2
（3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1
（6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1
（9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。
设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组
合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这
就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引
入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放
在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、
……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组
合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节
见以下程序中的函数comb。
【程序】
# include <stdio.h>
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【问题】 背包问题
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择
方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用
递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的
方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选
择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物
品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本
方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也
小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方
案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考
察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能：
（1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可
行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。
（2） 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大
的方案的情况。
按以上思想写出递归算法如下：
try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv)
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 将物品i包含在当前方案中；
if (i<n-1)
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它
作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
恢复物品i不包含状态；
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if (不包含物品i仅是可男考虑的)
if (i<n-1)
try(i+1,tw,tv-物品i的价值)；
else
/*又一个完整方案，因它比前面的方案
好，以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
}
为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
价值 4 4 3 1
并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法
就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继
续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。
按上述算法编写函数和程序如下：
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if (tw+a[i].weight<=limitW)
{ cop[i]=1;
if (i<n-1) find(i+1,tw+a[i].weight,tv);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop[i]=0;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if (tv-a[i].value>maxV)
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a[i].value);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a[i].value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“输入物品种数\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“输入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0;
find(0,0.0,totV);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
}
作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速
度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得
进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这
样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在
候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同
样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解
时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案
也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int flg;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv[i].flg=1;
twv[i].tw=tw;
twv[i].tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv[i].flg;
tw=twv[i].tw;
tv=twv[i].tv;
switch(f)
{ case 1: twv[i].flg++;
if (tw+a
[i].weight<=limitW)
if (i<n-1)
{
next(i+1,tw+a[i].weight,tv);
i++;
}
else
{
maxv=tv;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv[i].flg=0;
if (tv-a[i].value>maxv)
if (i<n-1)
{
next(i+1,tw,tv-a[i].value);
i++;
}
else
{
maxv=tv-a[i].value;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf(“输入物品种数\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“输入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
for (k=0;k<n;k++)
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“\n选中的物品为\n”);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
}
五、回溯法
回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将
问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下
一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继
续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有
要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选
解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。
1、回溯法的一般描述
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组
成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组
中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分
量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一
n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全
部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）
满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<i）元组（x1，x2，…，xj）一
定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，只要存
在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，
则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也
违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。因此，对于约束集D具有完备性
的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的
一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，
xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针
对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问
题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造：
设Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，
…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的
边，按从左到右的次序，分别带权xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，
…，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应于T中的一个叶子
结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦
然。另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组
（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依
次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀
（），对应于T的根。
因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的
根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部
约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略
逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，
前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。
在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点
被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树
T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对
应于问题P的一个解。
【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5，r=3的所有组合为：
（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5
（4）1、3、4 （5）1、3、5
（6）1、4、5
（7）2、3、4 （8）2、3、5
（9）2、4、5
（10）3、4、5
则该问题的状态空间为：
E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5}
约束集为： x1<x2<x3
显然该约束集具有完备性。
问题的状态空间树T：
2、回溯法的方法
对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结
构和D的完备性，在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为：
从T的根出发，按深度优先的策略，系统地搜索以其为根的子树中可能包含着
回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索，以提高搜索
效率。具体地说，当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，
即“激活”该状态结点，以便继续往深层搜索；否则跳过对以该状态结点为根的子树的
搜索，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被搜索
遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点，即转向其未被搜索的一个
儿子结点继续搜索。
在搜索过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把
它输出或保存。由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答
结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子
结点均已被搜索过为止。
例如在组合问题中，从T的根出发深度优先遍历该树。当遍历到结点（1，2）
时，虽然它满足约束条件，但还不是回答结点，则应继续深度遍历；当遍历到叶子结点
（1，2，5）时，由于它已是一个回答结点，则保存（或输出）该结点，并回溯到其双亲
结点，继续深度遍历；当遍历到结点（1，5）时，由于它已是叶子结点，但不满足约束
条件，故也需回溯。
3、回溯法的一般流程和技术
在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回
溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：
在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们
一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以
很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。
例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空，则表示了树的根
结点。如果元素1进栈，则表示建立并遍历（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立
并遍历（1，2）结点；元素3再进栈，则表示建立并遍历（1，2，3）结点。这时可以判
断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。这时只要栈顶元素（3）出
栈，即表示从结点（1，2，3）回溯到结点（1，2）。
【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]
中，组合的元素满足以下性质：
（1） a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；
（2） a[i]-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：
首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选
解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合
改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全
部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以
及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调
整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，
4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部
解。按上述思想写成程序如下：
【程序】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a[i]=1;
do {
if (a[i]-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j<r;j++)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a[i]++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}
main()
{ comb(5,3);
}
【问题】 填字游戏
问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格
填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要
求的各种数字填法。
可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填
入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格
找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方
格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，
寻找下一个解。
为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的
顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满
足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满
足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就
得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检
查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。
回溯法找一个解的算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok) 扩展;
else 调整;
ok=检查前m个整数填放的合理性;
} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))
if (m!=0) 输出解;
else 输出无解报告；
}
如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试
图去找下一个解。相应的算法如下：
回溯法找全部解的算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok)
{ if (m==n)
{ 输出解；
调整；
}
else 扩展;
}
else 调整;
ok=检查前m个整数填放的合理性;
} while (m!=0);
}
为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求
按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一
形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位
置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调
整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 12
void write(int a[ ])
{ int i,j;
for (i=0;i<3;i++)
{ for (j=0;j<3;j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
}
scanf(“%*c”);
}
int b[N+1];
int a[10];
int isprime(int m)
{ int i;
int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
if (m==1||m%2=0) return 0;
for (i=0;primes[i]>0;i++)
if (m==primes[i]) return 1;
for (i=3;i*i<=m;)
{ if (m%i==0) return 0;
i+=2;
}
return 1;
}
int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-
1},{5,7,-1}};
int selectnum(int start)
{ int j;
for (j=start;j<=N;j++)
if (b[j]) return j
return 0;
}
int check(int pos)
{ int i,j;
if (pos<0) return 0;
for (i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)
if (!isprime(a[pos]+a[j])
return 0;
return 1;
}
int extend(int pos)
{ a[++pos]=selectnum(1);
b[a][pos]]=0;
return pos;
}
int change(int pos)
{ int j;
while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
if (pos<0) return –1
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
return pos;
}
void find()
{ int ok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
do {
if (ok)
if (pos==8)
{ write(a);
pos=change(pos);
}
else pos=extend(pos);
else pos=change(pos);
ok=check(pos);
} while (pos>=0)
}
void main()
{ int i;
for (i=1;i<=N;i++)
b[i]=1;
find();
}
【问题】 n皇后问题
问题描述：求出在一个n×n的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有
布局。
这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互
捕捉。如图所示，一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上，则棋盘上凡打“×”的位置
上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。
1 2 3 4 5 6 7 8
× ×
× × ×
× × ×
× × Q × × × × ×
× × ×
× × ×
× ×
× ×
从图中可以得到以下启示：一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后，且一条斜
线上也只有一个皇后。
求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1
列，直至第n列配置也是合理时，就找到了一个解。接着改变第n列配置，希望获得下一
个解。另外，在任一列上，可能有n种配置。开始时配置在第1行，以后改变时，顺次选
择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时，就要回
溯，去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下：
{ 输入棋盘大小值n；
m=0;
good=1;
do {
if (good)
if (m==n)
{ 输出解；
改变之，形成下一个候选
解;
}
else 扩展当前候选接至下一列；
else 改变之，形成下一个候选解；
good=检查当前候选解的合理性；
} while (m!=0);
}
在编写程序之前，先确定边式棋盘的数据结构。比较直观的方法是采用一个
二维数组，但仔细观察就会发现，这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困
难。更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。对于本题来说，“常用信息”并
不是皇后的具体位置，而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。
因在某一列上恰好放一个皇后，引入一个一维数组（col[ ]），值col[i]表示在棋盘第i
列、col[i]行有一个皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇
后。另外，为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，设定col[0]的初值为0当回溯
到第0列时，说明程序已求得全部解，结束程序运行。
为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便，引入以下三个工作数组：
（1） 数组a[ ]，a[k]表示第k行上还没有皇后；
（2） 数组b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后；
（3） 数组 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后；
棋盘中同一右高左低斜线上的方格，他们的行号与列号之和相同；同一左高右低斜线上
的方格，他们的行号与列号之差均相同。
初始时，所有行和斜线上均没有皇后，从第1列的第1行配置第一个皇后开
始，在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后，准备考察第m+1列时，在数组a[ ]、b
[ ]和c[ ]中为第m列，col[m]行的位置设定有皇后标志；当从第m列回溯到第m-1列，并
准备调整第m-1列的皇后配置时，清除在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中设置的关于第m-1列，
col[m-1]行有皇后的标志。一个皇后在m列，col[m]行方格内配置是合理的，由数组a
[ ]、b[ ]和c[ ]对应位置的值都为1来确定。细节见以下程序：
【程序】
# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>
# define MAXN 20
int n,m,good;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main()
{ int j;
char awn;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0;
do {
if (good)
if (m==n)
{ printf(“列\t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%
d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q
for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’)
exit(0);
while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c
[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
else
{ a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]
=0;
col[++m]=1;
}
else
{ while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]
=1;
}
col[m]++;
}
good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];
} while (m!=0);
}
试探法找解算法也常常被编写成递归函数，下面两程序中的函数queen_all()
和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。
【程序】
# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main()
{ int j;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
queen_all(1,n);
}
void queen_all(int k,int n)
{ int i,j;
char awn;
for (i=1;i<=n;i++)
if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n)
{ printf(“列\t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%
d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q
for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’)
exit(0);
}
queen_all(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];
}
}
采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同，在找一个解的算法中，递归算
法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。当它成为最终解时，递归函数就不再递
归试探，立即返回；若不能成为解，就得继续试探。设函数queen_one()返回1表示找到
解，返回0表示当前候选解不能成为解。细节见以下函数。
【程序】
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
int queen_one(int k,int n)
{ int i,found;
i=found=0;
While (!found&&i<n)
{ i++;
if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n) return 1;
else
found=queen_one(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1;
}
return found;
}
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║★★★★★友谊第一 比赛第二★★★★★║
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