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发信人: songs (小松), 信区: Philosophy
标  题: 范畴理论历史简介
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年06月06日21:34:19 星期三), 站内信件

这篇东西有点跑题，但对解释什么是范畴有点用处。不要m，过一阵子删掉它。

范畴理论历史简介
对这一领域复杂的历史作一个简短公正的介绍是很困难的,不可能提及促进了它快速发展
的所有数学家（我们将挑重点的介绍）。这里必须提及的是一些主要的发展路线。
范畴、函子、自然变换、极限和上极限在1945年Eilenberg与Mac Lane的文章《自然等价
的一般理论》中几乎处处可见。追溯到他们1942年的文章《群的扩张和同调》，我们可
以发现那时它们就有了函子和自然变换的想法。他们的核心观点,如标题所示,是自然变
换转变的观点。为了给自然变换一个一般的定义,他们定义了函子（这个术语源于Carna
p）；为了给函子的一个一般的定义,他们定义了范畴（这个概念源于Kant和Aristotle）
。在1945的文章中，他们并不清楚范畴理论的概念将成为第三代数学语言。然后在1950
年,Mac Lane用了范畴的语言给出乘积的一般定义。然而在1957年和1958年，情况发生了
戏剧的变化。1957年Grothendieck发表了他的里程碑式的著作《Sur quelques points 
d'algebre homologique》，其中，范畴被用来定义和构造应用于数学的某些特定领域（
譬如，代数几何）的一般理论。1958年Kan发表了《伴随函子》并且证明了这个概念包含
了极限和上极限等重要的概念。从那时起，范畴理论作为一种方便的数学语言和强有力
的工具奠定了其在数学中的地位。
60年代,范畴理论迅速发展,主要在代数学几何、代数学拓扑和泛代数学等方面。主要特
点是Grothendieck的工作的发展导致抽象范畴的描述，数学的各个分支在此基础上得到
发展。例如,Abel范畴由范畴的条件确定,通常是某个伴随函子的存在性,这个问题属于同
调代数的主流。同一时期,主要在William Lawvere的影响下,范畴理论作为数学的一个基
础的想法逐渐提到日程上来了。由于Grothendieck及其领导的学派在topos（拓扑斯）上
的贡献，这个想法才得以实现。
尽管topos的概念在19世纪60年代就提出了,这个概念的公理化却是Lawvere与Tierney在
70年早期给出的，从此奠定了它的基础并促进了它的发展。粗略地讲,一个topos是一个
同时拥有丰富逻辑结构的范畴,丰富到足够建立“经典的数学”的绝大部分，即大学程度
的数学。同时它也是一个一般拓扑空间，这建立了逻辑与几何之间的联系。整个70年代
就是这个概念的发展和应用。
从80年代到这天,范畴理论有了更多的应用。一方面,它在理论计算机科学中直接应用于
程序设计语言的语义和新的逻辑框架的建立。另一方面,它在数学中的应用也变得更多样
化甚至渗透到理论物理中。在数学中，从高维拓扑到二维拓扑学甚至扭结理论中都能找
到范畴理论的影子。
范畴理论的哲学意义
范畴理论至少在两个方面对哲学家构成挑战。一方面,澄清范畴理论的认识论的地位是一
个哲学的任务，特别是它的基础地位。另一方面,哲学家可以用范畴理论进行哲学和逻辑
的问题的探索。下面我们依次讨论这两个问题。
显而易见，范畴理论是数学家的一个普通的工具---范畴理论统一并提供了丰富的数学结
构。捍卫和反对范畴理论的争论促进了范畴理论的发展。在过去的五十年中，数学哲学
所讨论的仅仅局限于数学的集合论基础---仿佛数学就是在这个基础之上建立起来的。但
是随着集合论的消沉和范畴理论的兴起，范畴理论对哲学思考的影响也应该逐渐明显起
来。
范畴理论在逻辑和哲学的研究中的应用已经在某些哲学家中进行了。确实,范畴逻辑---
在范畴工具的帮助下的逻辑的研究大约开展了30年的时间并且仍然是很活跃。在这之前
,已经得到许多重要的结果，但是大部分的结果仍然被哲学家所忽略。直觉逻辑的Kripk
e-Beth语义学的一般化到Joyal的层语义学以及几何或协调逻辑的发现,它们的应用和概
念的意义仍需挖掘，完全性定理,连续统假设的独立性和集合论的其他敏感的公理的几何
证明，为标准和非标准分析提供方法微分几何学的发展,在自然数上的每个函数都是递归
的所谓的有效topos的构造，线性的逻辑、模态逻辑和高阶类型理论以及概型的范畴模型
的发展。范畴理论也为更一般的哲学的问题提供了相关的信息。例如,1987年Ellerman试
图证明范畴理论所确定的泛理论的性质与集合论所确定的泛理论的性质截然不同。如果
我们从泛理论到概念来一个转变,我们甚至能在认知科学中看到范畴理论是如何地有用。
确实,Macnamara和Reyes已经开始尝试使用范畴逻辑提供一个不同的逻辑。McLarty，Ma
rquis和Awodey试图展示范畴理论在数学知识的构造主义方法上是如何地有趣。范畴理论
在许多方面与哲学息息相关并且这个事实已经被一些有远见的哲学家意识到了。

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