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标  题: 弦论通俗演义（十六）
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弦论通俗演义（十六）

李淼
中国科学院理论物理研究所 　 

第五章　第一次革命

（第三节）

　　1984年的超弦风暴在很大程度上归功于三篇经典文章中的一篇，就是威顿等人的关
于卡拉比-丘紧化的文章。这篇文章大概是所有超弦文章被引用最多的一篇，后来它的引
用率仅仅被一篇文章超过，就是马德西纳 (J. Maldacena) 的关于弦论和规范理论对偶
的著名文章。

　　单从引用率来看，很能说明为什么卡拉比-丘紧化文章的重要。首先是唯象方面的，
这篇文章为弦论在唯象学方面的应用开了一个先河，使人们看到很多不同的可能；其次
，这种全新的紧化方式引发构造许许多多低维弦理论；最后，卡拉比-丘紧化使得弦论第
一次和现代数学的分支代数几何发生关系。

　　我们前面说过，如果从一个高维理论出发，要想得到一个低维的带有手征费米场的
理论，这个高维理论本身必须是手征的。现在，弦论已有三个理论在十维中带有手征，
就是型-I 超弦，其规范对称性是 SO(32)，两种杂化弦，规范对称分别是 SO(32) 和E(8
)XE(8)。卡拉比-丘紧化文章首先关心的是，如何从这些理论得到一个四维的手征理论。
当然由于十维超对称的存在，我们首先要问的是，通过紧化后，还要不要超对称？

　　粒子物理的标准模型中没有超对称，也就是说到目前为止，粒子物理实验还没有看
到任何超对称的迹象。我们在谈超对称和超引力一章中解释了超对称的引入在理论上的
意义，也谈了在解决所谓规范等级问题上的作用。所以，在某个能标以上，超对称的存
在是有好处的，很多唯象学家也相信发现超对称下一阶段粒子物理实验的重要目标之一
。那么，唯象学需要多少超等称？从消除发散的角度看，越多越好，而从粒子物理的角
度看，四维中的N 等于一超对称最合适。如果有更多的超对称，表示理论说明，如果有
一个左手的费米子，则存在一个对应的右手费米子，这和弱电相互作用极大破坏手征性
矛盾。所以，在某个能标以上，最好只有四维的N等于一超对称。

　　既然在低能理论中没有超对称，我们能不能一开始就利用紧化破坏所有的超对称？
这种可能是存在的，但我们一定要在解决规范等级问题的前提下做到破坏所有的超对称
。据我所知，目前还不存在一个这种紧化方式。

　　所以坎德拉斯 (P. Candelas)、豪罗维芝 (G. Horowitz)、施特劳明格、威顿等四
人的文章假定在紧化后得到一个四维的N 等于一的理论。这就要求，卡拉比-丘流形破坏
大多数超对称。根据推广的哥得斯通定理，破坏一个超对称就必须有一个对应的零质量
的费米子，这些费米子必须从10维的引力微子中产生，从超对称变换的角度说，这些费
米子对应于超对称变换所产生的引力维子部份。引力微子的超对称变换含有超对称参数
的协变微商，要产生不为零的引力微子场，这些协变微商要不为零。我们得出结论，如
果只留下一个四维的超对称，只有这个超对称对应的协变微商为零。用数学的语言说，
整个流形上只有一个基林旋量 (Killing spinor)。

　　如果将十维时空流形看作是一个四维的平坦的时空和一个封闭的六维空间的直积，
那么这个基林旋量在四维平坦时空上只是一个常数旋量，在六维空间上就比较复杂了。
很多简单的封闭空间有许多基林旋量，如一个六维的环面；而大多数封闭空间没有任何
基林旋量。可以很快证明，允许基林旋量存在的空间必须是里奇平坦的，即所有里奇曲
率为零。如果只有一个基林旋量，那么这个里奇平坦的空间也不能过于平坦，环面是完
全平坦的，但有太多的基林旋量 (和旋量的份量个数一样多)。一个空间的平坦程度又可
以用一个群论言语来描述。我们知道平移的概念，这个概念在欧氏空间中最简单，也可
以推广到一个弯曲的空间中去。当一个空间是弯曲的时，一个矢量沿着一个闭合的路径
平移后回到原点可能与原来的矢量不同。在一个平坦的空间中，沿着任何闭合路径平移
后的矢量还是原来的矢量，我们说这个平坦空间的和乐群 (holonomy group) 是平庸的
。球面则不同，平移后的矢量好像是经过了转动，这个转动依赖于路径。所有可能的转
动形成一个群，这个和乐群对于球面来说是整个转动群。现在，只允许一个基林旋量存
在的六维空间的和乐群不能太小，也不能太大，必须正好是一个SU(3)群。

　　和乐群为SU(3)的空间是一个复空间，同时又是一个所谓的开勒空间 (Kahler)。这
样一个空间叫卡拉比-丘空间，原因是，卡拉比猜测和乐群为SU(3)的空间一定存在一个
里奇平坦的度规--我们前面说过基林旋量的存在要求里奇曲率为零，而丘成桐证明了这
个猜测。这类流形是一类特殊的复流形，卡拉比-丘紧化文章给出了一些构造。这些构造
说明这些流形是代数流形，也就是说可以通过在复欧氏空间用代数方程来规定一个子流
形，虽然我们形式上有了这些流形，还没有人能写出一个里奇曲率为零的度规，这就说
明这些流形的确很复杂。

　　也许我们就认为在这种情况下很难研究紧化后的一些物理问题。的确，许多问题的
回答要求我们必须知道明确的度规，幸运的是，很多重要的、低能物理的问题的回答不
需要明显的度规表达式。一类问题是，紧化后，有多少四维中的零质量粒子？零质量粒
子对应于六维紧化流形上的各种微分算子的零模，比如，一个零质量的标量粒子对应于
六维流形上的拉普拉斯算子的零模；一个零质量的旋量粒子对应于六维流形上的狄拉克
算子的零模。没有明确的度规表达式，我们不能写出这些零模的明确表达式。但要回答
有多少零模，我们不需要明确的表达式。

　　算子的零模问题和所谓的指标定理有关。给定一个算子，可以定义其指标，这个指
标是一个整数，即是这个算子的零模个数减去其对偶算子的零模个数。在很多情况下，
对偶算子没有零模，那么原算子的零模个数就等于这个算子的指标。指标定理说，虽然
定义中涉及到几何即度规，一个算子的指标是一个拓扑数，只和流形的拓扑有关，和几
何没有关系。指标定理在很大程度上推广了欧拉定理以及后来的黎曼-罗赫定理。

　　当我们用代数方法构造了卡拉比-丘流形后，就可以利用代数几何的结果计算各种算
子的指标，从而确定对应的无质量粒子的个数。举例来说，狄拉克算子的指标是欧拉示
性数的一半。在这里，狄拉克算子的零模定义为左手零模，其对偶零模是右手零模，这
样，狄拉克算子的指标等于没有配对的手征零模，而配对了的零模形成一个没有手征的
零质量粒子。所以，粒子理论中的代的个数正好等于狄拉克算子的指标，也就是欧拉示
性数的一半。如果能构造出一个欧拉示性数为6的流性，我们就得到一个有着三代粒子的
四维理论。

　　标准模型中的一些重要的参数，如费米子与标量粒子耦合常数，也可以通过代数几
何来确定，这些也是一些拓扑不变量，当然是一些比较细致化的拓扑不变量，与复几何
有关。

　　紧化工作的另一个重要部份是决定四维中的规范对称性。非常有意思的是，这也和
代数几何有关。如果我们从N 等于一的十维理论出发，格林-史瓦兹关于反常的工作说明
，不是所有的紧化都是自洽的。低能理论要求，六维流形上的一个曲率和规范场必须满
足一个方程，这个方程的拓扑意义是说流形的第二陈类等于规范场的第二陈类，当然方
程本身的要求比这个表述的要求还要高，相当于无限多个要求。幸运的是，这个要求在
卡拉比-丘流形上可以得到满足。举E(8)XE(8)理论为例，可以把流形的和乐群SU(3)与E(
8)的一个子群完全等同起来，这样，剩下的规范对称性是所有与这个子群对议的子群，
也就是E(6)XE(8)。我们可以将E(6)解释为一个大统一对称群，另一个因子E(8)，由于与
E(6)对易，可以解释为不可见的分支。所以，卡拉比-丘紧化从超对称和大统一的角度来
看，是一个非常成功的紧化方式。

　　最后，说一句题外话，历史似乎提示，所有一开始认真研究卡拉比-丘紧化的人，一
生都离不开这个题目，如坎德拉斯。1984年文章的另外三个作者，后来没有将卡拉比-丘
流形作为主要研究课题，所以在其它方面都做出了重要工作。

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