Aero 版 (精华区)

发信人: yufei (飞飞), 信区: AerospaceScience
标  题: 改进的推广KALMAN滤波器在导弹被动制导中的应用 
发信站: 紫 丁 香 (Sun Sep  6 15:40:21 1998), 转信


                           改进的推广KALMAN滤波器
                           在导弹被动制导中的应用*

                                       周 荻
                         (清华大学自动化系*北京*100084)
                                   胡恒章 杨旭东
                     (哈尔滨工业大学航天学院*哈尔滨*150001)

摘  要　　本文研究将改进的推广Kalman滤波器(MEKF)应用于导弹被动制导
问题。为了提高系统的可观性，我们采用一种双重指标来设计最优导引律。
仿真结果表明，如果系统状态的均值较高，波动较小，那么MEKF的估计精度
明显优于推广Kalman滤波器(EKF)。

主题词　　推广Kalman滤波器  改进的推广Kalman滤波器   导弹被动制导  
　　　　　双重指标导引律



                 APPLICATION OF MODIFIED EXTENDED KALMAN
                    FILTER TO PASSIVE MISSILE GUIDANCE

                                      Zhou Di
            (Department of Automation,Tsinghua University?Beijing
                                      *100084)
                             Hu Hengzhang Yang XuDong
           (Aerospace School,Harbin Institute of Technology*Harbin
                                      *150001)

Abstract  A modified extended Kalman filter(MEKF)is proposed and applied
to passive 
missile guidance.We adopt a dual control method to design guidance law
for enhancing the 
observability content of the control system.Simulation results indicate
that if the expectation 
of the system state is relatively large and the wave of the state is
relatively minor,the 
performance of the MEKF is much better than that of the extended Kalman
filter(EKF).

Key words Extended kalman filter  Modified extended kalman filter  
Passive missile 
guidance  Dual control guidance law

1  引言

　　随着被动测量技术在跟踪和制导中的广泛应用，如何在仅有角度测量的
条件下对目标的状态进行估计引起了人们的浓厚兴趣。仅有角度测量的导弹
制导问题又称被动制导问题。从数学上讲，可以在直角坐标系中用一个线性
动态模型和一个非线性观测模型来描述这一问题，也可以在极坐标系中用一
个非线性动态模型和一个线性观测模型来描述它［1］。在被动制导条件下，
导弹的机动飞行轨迹会对滤波器的性能产生直接影响［2］、［3］，因此在
设计导引律时有必要考虑系统可观性指标。

　　被动制导问题中常用的非线性滤波方法是推广Kalman滤波(EKF)。然而，
只有当系统的动态模型和观测模型都很接近于线性时，EKF的估计结果才有
可能接近于真值。一种改进的推广Kalman滤波器［4］(MEKF)可以克服这一
约束，因此我们提出在导弹被动制导中应用MEKF进行目标状态估计。

2  直角坐标系中被动制导问题的描述


图1 导弹与目标相对运动关系在仿真时，导弹和目标都可以用质点来表示(见
图1)。设目标加速度用一个Gauss-Markov随机过程描述。系统动态模型
为

                                  dX=AXdt+bdt+wdt

                                         (1)

其中X=［x y z vx vy vz aTx aTy aTz］T，前三个变量代表目标与导弹之间的
相对位置，中间的三个变量代表相对速度，后三个变量代表目标加速度；b=
［0 0 0 -aMx -aMy -aMz 0 0 0］T是控制向量，aMx、aMy、aMz代表导弹加速度；
w=［0 0 0 0 0 0 wTx wTy wTz］T是噪声向量。另外，



系统观测模型为

                                   dY=h(x)dt+vdt

                                         (2)

其中h(x)=［tan-1y/x  tan-1-z/(x2+y2)1/2］T，v代表观测噪声。
w和v都是均值为零的高斯白色随机向量，且w和v相互独立。

3  双重指标导引律

    系统(1)—(2)所对应的确定性系统为



在线性二次型控制方案中，我们要在满足微分方程约束(3)，始端条件约束t0，
x0,y0,z0,vx0,vy0,vz0,aTx0,aTy0,aTz0以及终端条件约束tf的前提下，求出控制
量aMx，aMy，aMz，使得性能指标最小。xf,yf,zf代表终端脱靶量。

                                                                (5)

在双重指标控制方案中，我们要在性能指标(5)的基础上加入系统(3)—(4)
的可观性指标，我们定义这一指标为


                                         (6)

其中Φ(t,t0)是=Ax的转移矩阵，即




Δt=t-t0,H=? h/?xT,S和N是正定对角加权矩阵，tr表示矩阵的迹。
令



s1,s2,s3是非负常数，时变矩阵



其中q1=(x2+y２)(x2+y2+z2)/［2(x2+y2+z2)］。利用矩阵迹的性质，(6)式可
以写作


                                         (7)

把H,N,Φ，S按定义代入(7)式可得


                                         (8)

当只考虑位置信息时，令s1=1,s2=s3=0,则(8)式化为


                                         (9)

综合(5)、(9)两式，设双重性能指标为


                                        (10)

其中c和s是大于零的常数。

    上述双重指标控制问题可以沿直角坐标系的x、y、z轴解耦成三个子问题，
这样只需考虑求aMy使得在满足约束=Vy,y=aTy-aMy,Ty=-λaTy以及t0,y0,vy0,aTy0和
tf的条
件下，性能指标


                                        (11)

最小。

    应用最优控制理论可以求得

                                 aMy=c1y+c2vy+c3aTy

                                        (12)

其中

                           c1=Λ21Γ11+Λ22Γ21+Λ23Γ31
                           c2=Λ21Γ12+Λ22Γ22+Λ23Γ32
                           c3=Λ21Γ13+Λ22Γ23+Λ23Γ33


矩阵Λ和Γ的定义和解法较繁琐，这里不
再详述，读者可参阅文献［3］中的附录。4  改进的推广Kalman滤波器(MEKF)

    考虑非线性系统

                    dX=f(t,X)dt+Budt+ε1σ(t)dw,X(0)=X0,t≥0

                                        (13)

                        dY=h(t,X)dt+ε2σ0(t)dv,Y0=0,t≥0

                                        (14)

其中状态X∈Rn，观测Y∈Rm，控制u∈Rl，随机过程w、v是两个相互独立的布朗
运动，它们的维数分别是n1和m1，ε1、ε2是大于零的常数，B是n×l矩阵，
σ(t)是n×n1矩阵，σ0(t)是m×m1矩阵，h：［0,∞)×Rn→Rm,f：［0,∞)×Rn→
Rn,
X0是L可测向量，它具有有限的二次矩且独立于w和v。

    利用Taylor级数围绕条件均值X^展开可得EKF方程


                                        (15)


                                        (16)

其中A(t,X)和H(t,X)代表Hessian矩阵fX和hX。

    只有当f和h都很接近于线性时，才能期望(15)—(16)的解接近于真值。
为了克服这一约束，我们将f和h围绕已知量进行线性化而不是围绕被估计量
进行线性化可得一种改进的推广Kalman滤波器(MEKF)。

    令为确定性微分方程

                           d=f(t,)dt+Budt,0=EX0

                                        (17)

的解，且令X为随机微分方程

                      dX=f(t,X)dt+Budt+ε1σ(t)dw,X(0)=X0

                                        (18)

的真实解。定义X~为围绕确定流X-的波动，从而有X=-+X~。把f和h围绕进行
Taylor展开可以推出MEKF方程，X-是(17)式的精确解。

    设A(t,)=fX-,H(t,)=hX-，那么

                        f(t,)=f(t,-)+A(t,)X~+0(X~)

                                        (19)

                        h(t,)=h(t,)+H(t,)X~+0(X~)

                                        (20)

把(19)—(20)式代入(13)—(14)式可得波动量的动态方程和观测方程

                        dX~=A(t,)X~dt+ε1σ(t)dw,X~0=0

                                        (21)

dY=［h(t,)+H(t,)X~］dt+ε2σ0(t)dv,Y(0)=0

                                        (22)

　　这样，滤波问题被解耦成两个子问题。第一个子问题是由初值问题(17)
所决定的确定性问题；第二个子问题是由波动量方程(21)—(22)所确定的随
机性问题。显然，对于已知的X-，(21)和(22)是线性的，而X~和Y是高斯过
程。定义X~的最小方差无偏估计为^=E{X~/Yt}，误差协方差矩阵为P=E{(X
~-^)(X~-^)T/Yt}，其中Yt代表直至t时刻,过程Y所产生的最小σ—代数。应
用线性系统的Kalman-Bucy理论，模型(21)—(22)的最优估计器为



初始条件为^0=0,P(0)=0。X~的误差协方差矩阵P(t)与X的误差协方差矩阵相同。
在MEKF中，联立解(17)、(21)、(22)可得估计值X^=X-+X~。

5  MEKF在导弹被动制导中的应用

    在MEKF中，线性化的参考点是一个确定值，而在很多情况下，这个确定
值就等于状态的均值。由此可知，如果系统状态均值较高，波动较小，那么
由这种方法得到的估值可能具有相当高的精度。当系统中存在确定性输入项，
而且其功率远大于噪声功率时，就属这种情况。在被动制导问题中，系统中
的确定性输入项b是导弹的加速度项，它的功率远大于系统中的噪声项w的功
率。另外，系统的动态模型(1)式是线性的，当初值较准确时，容易求得它的
精确解。基于以上两个原因，在被动制导中应用MEKF必然可得高精度的状态
估计值。为了证明这一点，我们把EKF和MEKF同时应用于被动制导问题，进
行仿真研究。

    仿真时，系统初始状态为x0=3500m,y0=1500m，z0=1000m，vx0=-1
100m/s，vy0=-150m/s,vZ0=-50m/s,aTx0=aTy0=aTz0=0m/s2。EKF和MEKF初始误差
的均值设定为零，初始方差阵P(0)=0，系统动态噪声强度ε1=1m/s2，测量噪
声强度ε2=10-3。经过50次Monte-Carlo仿真所得到的滤波器估计误差的统计
结果如图1—图3所示。图1中，在某一时刻t，相对距离估计误差利用公式


求得，其中E［ex］代表x的估计误差的均值。同理可求得速度估计量的均方根
型误差的统计结果E［ev］以及目标加速度估计量的均方根型误差的统计结果
E［ea］。图1—3中的仿真结果表明，MEKF的估计精度明显高于EKF。



图2 相对距离估计误差
图3 相对速度估计误差
图4 相标加速度估计误差

6  结论

    我们提出在导弹被动制导问题中采用改进的推广Kalman滤波器(MEKF)。
为了提高系统的可观性，我们用一种双重指标来设计最优导引规律。仿真结
果表明，MEKF的精度明显高于推广Kalman滤波器(EKF)。


本文于1995年12月18日收到

*本文得到国家教委博士点基金资助

                                     参考文献

1  Balakrishnan S N.Extention to Modified Polar Coordinates and
Application with 
Passive Measurements.Journal of Guidance,Control,and
Dynamics,1989,12(6):906-912
2  Nardone S C,Aidala V J.Observability Criteria for Bearing-only Target
Motion 
Analysis.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic
Systems,1981,AES-17(2):162-166
3  Hull D G,Speyer J L,Burris D B.Linear Quadratic Guidance Law for Dual
Control of 
Homing Missiles.Journal of Guidance,Control and
Dynamics,1990,13(1):137-144
4  Ahmed N U,Radaideh S M.Modified Extended Kalman Filtering.IEEE
Transactions 
on Automatic Control 1994,39(6):1322-1326
5  Song T L,Speyer J L.A Stochastic Analysis of Modified Gain Extended
Kalman Filter 
with Applications to Estimation with Bearings Only Measutements.IEEE
Transactions on 
Automatic Control,1985,AC-30(10):940-949
--

    有一天我会，插上翅膀飞，
      有一天我会，睁开双眼看，
        有一天我会，看到我的梦中有谁，
          有一天我会，飞过世界的背。

※ 来源:．紫 丁 香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: hs2.hit.edu.cn]