Astronomy 版 (精华区)

发信人: reise (璀璨星河), 信区: Astronomy
标  题: 附录1 谬误归约论和２的平方根 
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年04月22日12:02:29 星期二), 站内信件





　　毕达哥拉斯学派关于2的平方根的无理性的原始论证称为谬误归约论。谬误归
约论指的是先假设一种说法是真实的，顺理推论，出现矛盾，从而证明该说法是虚
假的。兹以现代的实例说明这个理论，即20世纪的一个大物理学家玻尔的一句名言
：“一种伟大思想的对立面也是一种伟大的思想。”徜若这个说法是正确的，则推
论下去难免要承担一点风险。以黄金定律为例，或者以劝阻撒谎或“你不能杀人”
为例，考虑它们的反论，就会明白了。也可以先认定玻尔的名言是一种伟大的思想
，那么，这个说法的对立面呢，即“一种伟大思想的对立面并不是一种伟大的思想
”也一定成立。这就是谬误归约论的论证过程。徜若反方的说法是虚假的，则这一
名言并不会耽误多少功夫，因为这等于自我承认并非伟大的思想。 

　　下面，根据谬误归约论，用现代论证法论证2的平方根的无理性。论证中只要
用到简单的代数法，不必要用到毕达哥拉斯学派发明的几何论证法。论证的风格和
思维的方式至少和结论一样引人入胜。 

　　设边长为1个单位（该单位无论是厘米、英寸还是光年都无所谓）的正方形，
对角线BC分正方形为两个直角三角形。根据毕达哥拉斯学说，在这样的直角三角形
中，12+12=x2。因为12+12＝1+1=2，由此推及x＝2的平方根。假定2的平方根（
21/2）是一个有理数，21/2=p/q，式中p和q均为整数。p和q可以代表任何整数，也
可以无穷大，当然也可以认为p和q没有公因子。设p=14，q=10，得21/2=14/10，分
子分母都除以2，得p=7，q=5，而不再是p=14，q=10。在任何计算中，分子分母的
公因子都要先除掉。p和q可以选用任何数。把 21/2=p/q两边平方，则得
2=(p2)/(q2)。两边两乘以q2，则得： 

　　p2=2q2　　　（式1） 

　　据式1，p2一定是乘以2的某个数，故p2是一个偶数。但是，奇数的平方一定是
奇数（如12=1，32=9，52=25，72=49）。所以，p本身一定是偶数，可以写作p=2s
，式中s为一个整数。把p代入式1，得： 

　　p2=(2s)2=4s2=2q2 

　　最后等式的两边都除以2，则得： 

　　q2=2s2 

　　因此，q2也是一个偶数。证明过程如上，则q本身也是一个偶数。要是p和q都
是偶数，都可以除以2，那么这两个数都没有归约到最小公因子，这和论证前的假
设是矛盾的。这里谬误得到归约。但是，哪一个假设是谬误的呢？论证过程中并没
有规定公因子不可归约，也没有规定14/10可以归约，7/5不可以归约。所以，原始
的假设一定是谬误的。p和q不可能是偶数：2的平方根是无理数。事实上21/2=1.
4142135…… 

　　这个结论真是出人意外！证明过程真是奇妙！但是，毕达哥拉斯学派却感到难
受，千方百计要掩盖住这个伟大的发现。

--
※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.239.188]