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标  题: 追寻引力的量子理论 (中)
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年06月07日16:02:57 星期六), 站内信件


作者：卢昌海
原文网址：http://www.changhai.org

三. 黑洞熵的启示 

迄今为止对量子引力理论最具体最直接的 “理论证据” 来自于对黑洞热力学的研
究。一九七二年，Princeton 大学的研究生 J. D. Bekenstein 受黑洞动力学与经
典热力学之间的相似性启发，提出了黑洞熵的概念，并估算出黑洞的熵正比于其视
界 (Event Horizon) 面积。稍后，S. W. Hawking 研究了黑洞视界附近的量子过
程，结果发现了著名的 Hawking 幅射，即黑洞会向外幅射粒子 (也称为黑洞蒸发)，
从而表明黑洞是有温度的。由此出发 Hawking 也推导出了 Bekenstein 的黑洞
熵公式，并确定了比例系数，这就是所谓的 Bekenstein-Hawking 公式： 

(公式详见原文)

式中 k 为 Boltzmann 常数，它是熵的微观单位， A 为黑洞视界面积， Lp 为 
Planck 长度，它是由广义相对论和量子理论的基本常数组合成的一个自然长度单
位 (大约为 10-35 米)。 

Hawking 对黑洞幅射的研究使用的正是以广义相对论时空为背景的量子理论，即所
谓的半经典理论，但黑洞熵的存在却预示着对这一理论框架的突破。我们知道，从
统计物理学的角度讲，熵是体系微观状态数目的体现，因而黑洞熵的存在表明黑洞
并不象此前人们认为的那样简单，它含有数量十分惊人的微观状态。这在广义相对
论的框架内是完全无法理解的，因为广义相对论有一个著名的 “黑洞无毛发定理” 
(No-Hair Theorem)，它表明黑洞的内部性质由其质量，电荷和角动量三个宏观
参数所完全表示 (即使考虑到由 Yang-Mills 场等带来的额外参数，其数量也十分
有限)，根本就不存在所谓微观状态。这表明黑洞熵的微观起源必须从别的理论中
去寻找，这 “别的理论” 必须兼有广义相对论和量子理论的特点 (因为黑洞熵的
推导用到了量子理论)。量子引力理论显然正是这样的理论。 

在远离实验检验的情况下，黑洞熵目前已经成为量子引力理论研究中的一个很重要
的理论判据。一个量子引力理论要想被物理学界所接受，必须跨越的重要 “位垒” 
就是推导出与 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微观状态数。 

四. 引力量子化的早期尝试 

引力量子化几乎是量子化方法的练兵场，早期的尝试几乎用遍了所有已知的场量子
化方法。最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化。它们共同发源于一九
六七年 B. DeWitt 题为 "Quantum Theory of Gravity" 的系列论文。 

协变量子化方法试图保持广义相对论的协变性，基本的做法是把度规张量 gμν 
分解为背景部分 gμν 和涨落部份 hμν: 

(公式详见原文)

不同的文献对背景部份的选择不尽相同，有的取 Minkowski 背景度规 ημν，有
的取量子有效作用量 (quantum effective action) 的解。这种方法和广义相对论
领域中传统的弱场展开方法一脉相承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时
空中引力子的相互作用。在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为 2 的无
质量粒子：引力子。 

由于这种分解展开使用的主要是微扰方法，随着七十年代一些涉及理论重整化性质
的重要定理被相继证明，人们对这一方向开始有了较系统的了解。只可惜这些结果
基本上都是负面的。一九七四年，G. 't Hooft 和 M. Veltman 首先证明了在没有
物质场的情况下量子引力在单圈图 (1-loop) 层次上是可重整的，但只要加上一个
标量物质场理论立刻变得不可重整。十二年后 M. H. Goroff 和 A. Sagnotti 证
明了量子引力在两圈图 (2-loop) 层次上是不可重整的。这一结果基本上结束了早
期协变量子引力的生命。又过了十二年，Z. Bern 等人往这一已经冷落的方向又泼
了一桶凉水，他们证明 - 除了 N = 8 的极端情形尚待确定外 - 量子超引力也是
不可重整的，从而连超对称这根最后的救命稻草也被铲除了。[注二] 

与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维时空流形
分割为三维空间和一维时间 (所谓的 ADM 分解)，从而破坏了明显的广义协变性。
[注三] 时间轴一旦选定，就可以定义系统的 Hamilton 量，并运用有约束场论中
普遍使用的 Dirac 正则量子化方法。正则量子引力的一个很重要的结果是所谓的
 Wheeler-DeWitt 方程，它是对量子引力波函数的约束条件。由于量子引力波函数
描述的是三维空间度规场的分布，也就是空间几何的分布，它有时被称为宇宙波函
数， Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理学家视为量子宇宙学的基本方程。 


与协变量子化方法一样，早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难，这些困难既
有数学上的，比如 Wheeler-DeWitt 方程别说求解，连给出一个数学上比较严格的
定义都困难；也有物理上的，比如无法找到合适的可观测量和物理态。[注四] 

引力量子化的这些早期尝试所遭遇的困难，特别是不同的量子化方法给出的结果大
相径庭这一现象是具有一定启示性的。这些问题的存在反映了一个很基本的事实，
那就是许多不同的量子理论可以具有同样的经典极限，因此对一个经典理论量子化
的结果是不唯一的，原则上就不存在所谓唯一 “正确” 的量子化方法。其实不仅
量子理论，经典理论本身也一样，比如经典 Newton 引力就有许多推广，以 
Newton 引力为共同的弱场极限，广义相对论只是其中之一。在一个本质上是量子
化的物理世界中，理想的做法应该是从量子理论出发，在量子效应可以忽略的情形
下对理论作 “经典化”，而不是相反。从这个意义上讲，量子引力所遇到的困难
其中一部份正是来源于我们不得不从经典理论出发，对其进行 “量子化” 这样一
个无奈的事实。 

五. Loop Quantum Gravity 

传统的量子引力方案的共同特点是继承了经典广义相对论本身的表述方式，以度规
场作为基本场量。一九八六年以来，A. Ashtekar 等物理学家借鉴了几年前 A. 
Sen 的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，以自对偶自旋
联络 (self-dual spin connection) 作为基本场量 (这组场量通常被称为 
Ashtekar 变量)，由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同年 T. 
Jacobson 和 L. Smolin 发现 Ashtekar 变量的 Wilson loop 满足 
Wheeler-DeWitt 方程。在此基础上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把这种 Wilson 
loop 作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: 
Loop Quantum Gravity。 

Loop Quantum Gravity 完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，
因此被称为是一种背景无关 (background independent) 的量子引力理论。一些物
理学家认为 Loop Quantum Gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质
的，因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定，
因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度
规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。 

Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段
。因为从几何上讲，Yang-Mills 场的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此以
联络作为引力理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想。不仅如此，
自旋联络对于研究引力与物质场 (尤其是旋量场) 的耦合几乎是必不可少的框架，
因此以联络作为引力理论的基本变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台。 
Rovelli 和 Smolin 等人发现在 Loop Quantum Gravity 中由广义协变性 - 也称
为微分同胚不变性 (diffeomophism invariance) - 所导致的约束条件与数学上的
 “节理论” (knot theory) 有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有
力的数学工具的支持。 Loop Quantum Gravity 与节理论之间的这种联系看似神秘，
其实在概念上并不难理解，微分同胚不变性的存在使得 Wilson loop 中具有实
质意义的信息具有拓扑不变性，而节理论正是研究 loop 拓扑不变性的数学理论。
 

经过十几年的发展，目前 Loop Quantum Gravity 已经具有了一个数学上相当严格
的框架。除背景无关性之外，Loop Quantum Gravity 与其它量子引力理论相比还
具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的。迄今为止在 Loop 
Quantum Gravity 领域中取得的重要物理结果有两个：一个是在 Planck 尺度上的
空间量子化，另一个是对黑洞熵的计算。 

空间量子化曾经是许多物理学家的猜测，这不仅是因为量子化这一概念本身的广泛
应用开启了人们的想象，而且也是因为一个连续的背景时空看来是量子场论中紫外
发散的根源。一九七一年 R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代
数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为 spin network。一九九四年 
Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面积与体积算符的本征值，
[注五] 结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和 Penrose 的 
spin network 存在密切的对应关系。以面积算符为例，其本征值为： 

(公式详见原文)

式中 Lp 为 Planck 长度，Jl 取半整数，是 spin network 上编号为 l 的边所携
带的量子数，求和 Σl 对所有穿过该面积的边进行。这是迄今为止有关 Planck 
尺度物理学最具体的理论结果，如果被证实的话，或许也将成为物理学上最优美而
意义深远的结果之一。 Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 
(Quantum Geometry)。对 Loop Quantum Gravity 与物质场 (比如 Yang-Mills 场) 
耦合体系的研究显示，具有空间量子化特征的 Loop Quantum Gravity 确实极有
可能消除普通场论的紫外发散。 

至于黑洞熵的计算，Loop Quantum Gravity 的基本思路是认为黑洞熵所对应的微
观态由能够给出同一黑洞视界面积的各种不同的 spin network 位形组成的。[注
六] 按照这一思路进行的计算最早由 K. Krasnov 和 Rovelli 分别完成，结果除
去一个被称为 Immirzi 参数的常数因子外与 Bekenstein-Hawking 公式完全一致。
[注七] 因此 Loop Quantum Gravity 与 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。
至于它为什么无法给出完全的常数因子以及这一不确定性究竟意味着什么，目前仍
在讨论之中。

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