Chemistry 版 (精华区)

发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Chemistry
标  题: [FAQ]混合积公式的推导
发信站: BBS 哈工大紫丁香站 (Fri Sep 17 09:15:40 2004)

发信站: 日月光华  

这个公式是普通化学课上老师直接给的

刚才我现推了一下：
忽略a,b,c的大小，也就是计算V/(abc)=V'
单位向量间夹角为(α,β,γ)。

a,b间夹角为γ，c与平面OAB间夹角为θ
显然由混合积，V'=sinγsinθ

c与a夹角β，与b夹角α，在平面OAB上的投影分别为β1,α1

由三角关系，得：
cosα1=cosα/cosθ,
cosβ1=cosβ/cosθ

而γ=α1+β1
因此cosγ=cos(α1+β1)=cosα1cosβ1-sinα1sinβ1
              ___________________________________
=[cosαcosβ-√(cos^2θ-cos^2α)(cos^2θ-cos^2β)]/cos^2θ
=[cosαcosβ-√(cos^2θ-cos^2α)(cos^2θ-cos^2β)]/cos^2θ
                                 ___________________________________
移项得到cosαcosβ-cosγcos^2θ=√(cos^2θ-cos^2α)(cos^2θ-cos^2β)

以cos^2θ为未知数，显然平方后常数项为零，为cos^2θ的二次方程
除去cos^2θ=0平凡解，有cos^2θ=(cos^2α+cos^2β-2cosαcosβcosγ)/sin^2γ

所以sin^2θ=(sin^2γ-cos2^α-cos^2β+2cosαcosβcosγ)/sin^2γ

所以体积V'^2=sin^2γsin^2θ=(sin^2γ-cos^2α-cos^2β+2cosαcosβcosγ)
                           =(1-cos^2α-cos^2β-cos^2γ+2cosαcosβcosγ)

开根号后乘以度量abc，就是V

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