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发信人: doer (老三：醉亦何妨), 信区: Control
标  题: 算法复杂性2(转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年06月08日10:41:12 星期六), 转信

【以下文字转载自 Algorithm 讨论区】
【原文由 longforyou 所发表】
比较两对算法的效率
考虑问题1：已知不重复且已经按从小到大排好的m个整数的数组A[1..m]（为简单起见。还
设m=2 k，k是一个确定的非负整数）。对于给定的整数c，要求寻找一个下标i，使得A[i]
=c；若找不到，则返回一个0。

问题1的一个简单的算法是：从头到尾扫描数组A。照此，或者扫到A的第i个分量，经检测
满足A[i]=c；或者扫到A的最后一个分量，经检测仍不满足A[i]=c。我们用一个函数Searc
h来表达这个算法：

Function Search (c:integer):integer;
Var J:integer;
Begin
J:=1; {初始化}
{在还没有到达A的最后一个分量且等于c的分量还没有找到时，
查找下一个分量并且进行检测}
While (A[i]<c)and(j<m) do
         j:=j+1;
If A[j]=c then search:=j {在数组A中找到等于c的分量，且此分量的下标为j}
           else Search:=0; {在数组中找不到等于c的分量}
End;
容易看出，在最坏的情况下，这个算法要检测A的所有m个分量才能判断在A中找不到等于c
的分量。

解决问题1的另一个算法利用到已知条件中A已排好序的性质。它首先拿A的中间分量A[m/2
]与c比较，如果A[m/2]=c则解已找到。如果A[m/2]>c，则c只可能在A[1],A[2],..,A[m/2-
1]之中，因而下一步只要在A[1], A[2], .. ，A[m/2-1]中继续查找；如果A[m/2]<c，则c
只可能在A[m/2+1],A[m/2+2],..,A[m]之中，因而下一步只要在A[m/2+1],A[m/2+2],..,A[
m]中继续查找。不管哪一种情形，都把下一步需要继续查找的范围缩小了一半。再拿这一
半的子数组的中间分量与c比较，重复上述步骤。照此重复下去，总有一个时候，或者找到
一个i使得A[i]=c，或者子数组为空（即子数组下界大于上界）。前一种情况找到了等于c
的分量，后一种情况则找不到。

这个新算法因为有反复把供查找的数组分成两半，然后在其中一半继续查找的特征，我们
称为二分查找算法。它可以用函数B_Search来表达：

Function B_Search ( c: integer):integer;
Var
L,U,I : integer;  {U和L分别是要查找的数组的下标的上界和下界}
Found: boolean;
Begin
L:=1; U:=m;   {初始化数组下标的上下界}
Found:=false; {当前要查找的范围是A[L]..A[U]。}
{当等于c的分量还没有找到且U>=L时，继续查找}
While (not Found) and (U>=L) do
  Begin
   I:=(U+L) div 2;  {找数组的中间分量}
   If c=A[I] then Found:=Ture
             else if c>A[I] then L:=I+1
                               else U:=I-1;
  End;
If Found then B_Search:=1
          else B_Search:=0;
End;
容易理解，在最坏的情况下最多只要测A中的k+1(k=logm,这里的log以2为底，下同)个分量
，就判断c是否在A中。

算法Search和B_Search解决的是同一个问题，但在最坏的情况下（所给定的c不在A中），
两个算法所需要检测的分量个数却大不相同，前者要m=2 k个，后者只要k+1个。可见算法
B_Search比算法Search高效得多。

以上例子说明：解同一个问题，算法不同，则计算的工作量也不同，所需的计算时间随之
不同，即复杂性不同。

上图是运行这两种算法的时间曲线。该图表明，当m适当大（m>m0）时，算法B_Search比算
法Search省时，而且当m更大时，节省的时间急剧增加。

不过，应该指出：用实例的运行时间来度量算法的时间复杂性并不合适，因为这个实例时
间与运行该算法的实际计算机性能有关。换句话说，这个实例时间不单纯反映算法的效率
而是反映包括运行该算法的计算机在内的综合效率。我们引入算法复杂性的概念是为了比
较解决同一个问题的不同算法的效率，而不想去比较运行该算法的计算机的性能。因而，
不应该取算法运行的实例时间作为算法复杂性的尺度。我们希望，尽量单纯地反映作为算
法精髓的计算方法本身的效率，而且在不实际运行该算法的情况下就能分析出它所需要的
时间和空间。

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