Economics 版 (精华区)

发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Economics
标  题: (zz)金融物理介绍(3)
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Mar 11 13:22:56 2004), 站内信件

2．价格的统计分析与相关的物理模型。
价格涨落是金融市场中普遍的行为，也是金融市场中最可直接观测的金融数据，这些表

面上看似起伏无常、变化不定的价格涨落的时间序列，实际上是经济系统内部的结构、

机制在一定的外部条件下产生的规律性的反映，物理学家深信价格数据的历史中一定包

含了系统的全部的动力学信息。因而，价格涨落的统计规律与分布形式是金融市场的最

基本性质之一。这种涨落呈现何种统计分布形式？具有何种动力学演化行为？这些问题

无论在理论上还是在实际中都是值得重视的。显然，最简单、最朴素、最直观的观点是

价格涨落的分布遵循高斯分布（正态分布）。然而，大量实际的金融数据表明，大的价

格回复分布的概率具有比高斯分布情况下的概率更大，即在实际的金融市场中，大的价

格起伏的事件所发生的概率远远超过了高斯分布的预言，人们把这一现象称为胖尾现象

。价格回复对高斯分布偏离的实质与原因是什么？价格回复应遵循何种分布规律？如何

建立价格涨落的随机过程模型？人们为此提出了不同的观点与看法。
⑴．价格回复的Ｌevy分布规律
1963年，B.Mandelbro在对棉花价格的分析中观察到，价格回复过程，不仅是一种非高斯

分布，还显示出时间"标度"的存在，即对于△t的各种不同尺度的选择，回复分布具有相

同的函数形式。基于胖尾现象和时间的标度性，B.Mandelbro得出价格回复分布可以用Ｌ

evy稳定过程模拟；随后意大利的R.N.Mantegna和美国的H.E.Stanley研究证实，纽约股

票交易所的Ｓ＆Ｐ５００指数的回复分布可以由中心部分为Ｌevy分布，再连接一个近似

指数下降分布的尾部的分布模型来描述。这些特征的确认，对于金融市场中价格模型的

构造是有积极意义的。
中国科学技术大学的汪秉宏教授及其合作者对香港金融市场中最重要的金融数据--恒生

指数涨落的统计规律进行了细致的研究[15]，研究结果表明，恒生指数回复的统计分布

也呈现出显著的标度行为，这一过程的动力学在分布中心部分是与Ｌevy过程所预测的结

果相一致（在至少跨度为２个数量级的时间间隔内可以观察到这一标度行为），而在分

布尾部的下降特征则以幂函数规律作指数下降（如图1所示）。

图1 香港恒生指数(1994.1-1997.5)对不同时间尺度△t的指数收益的概率分布

⑵．价格（收益）变化的J过程演化模型[16,17]
价格（或收益）变化是一个宏观的动态过程，影响的因素与机制非常复杂，从表观上看

是一种随时间演化的毫无规律的曲线，但如果从系统演化的角度来看，把影响演化的因

素与机制做细致的分析，那么价格（收益）的演化轨迹可以划分为三种基本的过程：渐

变过程、阶跃过程和J过程。
J过程是一种内涵式的演化过程模型，它通过改变资本和劳动力的"质量"，通过创新使价

格（收益）上升到一个新的台阶，而这种改变资本和劳动力的"质量"等方面的努力又是

要付出成本的。在教育经济收益方面的动力学模型中,理论分析和实证研究得出的受不同

程度教育的收益曲线 (图2 )是一种典型的J演化过程。

图2  受不同程度教育的收益曲线
从复杂性系统理论的观点来看，J演化过程是一个经典统计物理学中的物理模型，其本质

是系统存在多重均衡时的非平衡相变过程。如在讨论核裂变时一个重核分裂为两个碎片

的过程中，系统是如何从一个定态越过势垒到达另一个定态。这样一个典型的非平衡统

计问题在非线性福克-普朗克方程的基础上可给出一个近似解。
如果系统的某一物理量随时间（或空间）的演化过程是J过程，那么可以认为该系统形式

地受到正、负两个方向的"力"的作用。如气体动理论中分子力模型，其引力与斥力的关

系曲线就是一个典型的J过程（反J过程）。为此我们可以根据实际问题中的具体情况，

赋予J过程演化模型中"力"的某种涵义。
价格（收益）演化过程中的J过程演化模型，抓住了经济增长这一复杂动态演化系统中的

关键变量--资本与劳动力的"质量"，反映了在一段时间内给定系统的整体优化目标，并

在一定的约束条件下（如改变资本与劳动力的"质量"），使系统选择一条最优化的演化

道路。在经济增长的过程中，一种具有潜在后发性优势，但又需要先期投入的经济现象

都有可能产生J过程。为此在经济管理的决策中，可以考虑J过程所给出的结构特点来选

取适当的决策方案。
利用非平衡统计物理的背景展开对经济系统有关经济增长和价格（收益）变化中"J"过程

的研究，将有助于这类非平衡经典系统机制的理解；同时，经济理论和数据的分析也有

助于促进统计物理对这个基本问题认识的深化。

⑶．朗之万方程（模型）
人们通过对金融市场中交易价格的分析发现，金融市场中价格的变化△r随时间t的关系

可以由变系数的朗之万方程来进行描述。
Δr(t+△t)=b(t)△r(t)+f(t)
其中f(t)代表非线性系统中的随机力，在金融市场中，它反映了经纪人自身的属性及经

纪人对市场预期的差异性；b(t)为一随机变化的系数，它反映了在金融市场中经纪人对

价格变化的各种各样的响应程度。该方程的解是一个含时解，它可以描述金融市场中价

格变化分布的构形及其演化规律。显然，在这个模型中物理学家把一个开放的金融市场

类比为一个受随机力驱动的非线性动力系统，并试图通过它来解释所谓的胖尾现象。
P.Richmond等[18,19] 从朗之万方程出发，构造了一个描述金融市场中价格波动的分布

函数的动力学模型，基于这一动力学模型，运用非平衡态统计物理学中的福克-普朗克方

程的稳定解，说明了金融市场中价格波动的分布函数满足幂律率的可能机理。而幂律率

恰是金融市场处于自组织临界态的一种反映。

(4)．股价方程、期权定价与布朗运动模型[20,21]
布朗运动是具有典型意义的科学实验之一，它不仅用来作为许多自然现象的模型，而且

可用来作为许多社会现象的模型。1908年P Langevin在研究布朗运动的涨落现象时，给

出了物理学中第一个随机微分方程。如果在布朗粒子应满足的牛顿运动方程中，加上一

项引起布朗粒子作无规则运动的随机力 有

其中 为阻尼力，这就是Langevin方程的一种简化形式.
控制论的发明人N. Wiener在1923年指出，布朗运动在数学上是一个随机过程，提出了用

"随机微分方程"来描述，因此人们也把布朗运动称为维纳过程；日本数学家I.Kiyosi发

展建立了带有布朗运动干扰项 的随机微分方程

其中参数 表示干扰强度、 为漂移率，这就是伊藤过程方程，它所描述的随机过程称为

伊藤过程。伊藤过程可看成为一般化的维纳过程，它直接把布朗运动理解为随机干扰，

从而赋予了布朗运动最一般的意义。
布朗运动是随机涨落的典型现象。一般地说，许许多多的宏观观测，都要受到布朗运动

的限制。法国经济学家L. Bachelier把股价的变动理想化为布朗运动。在此基础上，经

济学家把伊藤过程方程用于描写股票价格 行为过程的一种模式，为更确切地描写股票价

格的行为过程,伊藤过程方程被修正为

其中 为股票价格波动率、 为股票价格的预期收益率。人们把它称为股价方程，它是一

个随机微分方程。
    由伊藤过程描述的股价方程是一个正向的随机微分方程，从确定的 出发，根据布朗

运动的随机变量 在0～t之间的形态，来推断轨线的统计行为。若将问题倒过来提，及先

给定一个 时的随机变量 ，然后来确定其初值 ，这种问题所对应的方程称为倒向随机微

分方程。金融工程中的期权定价问题就是倒向随机微分方程的求解问题。
1973年F. Black和M. Scholes基于布朗运动模型基础上得出的伊藤过程方程，假定期权

价格 是股票价格 和时间 的函数，证明了期权价格的变动也满足伊藤过程方程，即

其中 、 ，它是BS期权定价理论中的关键方程之一。

(5)．价格标度律与多分形的研究[22,23,24,25,26]
标度不变性是一个源自于物理学、生物学、地质学等自然科学中的一个概念，随着人们

对金融系统的深入研究，在金融指数、价格变化中也发现了幂律率与标度不变性。人们

认识到，标度不变性是金融市场中的一种重要的特性，而这种特性在传统的金融学理论

中没有被发现或者没有得到应有的重视。金融市场的标度行为反映了金融市场中价格变

化的相似性和相关性，这种相似性和相关性体现在不同的时间标度上，也是对分形市场

假设的一个支持。金融市场的标度不变性改变了传统金融理论的研究方法，要求人们在

不同的时间尺度上考虑整个金融市场的行为，并成为金融工程中研究金融系统复杂性的

重要理论和方法之一。标度律行为看起来十分简单，但能够产生十分复杂的、却又有统

计相似性的结构与行为。我们可以从金融数据的标度的统计算法中得到若干金融数据的

结论和统计特征，这些结论是可以被测试检验，而这些特征又反映了金融数据的内在统

计规律。目前人们引用了Hurst指数、标度指数和自相关指数来分析、了解金融系统的标

度不变性，并力求通过这些指数来确定系统的标度不变性程度。
同时，分形市场假设也使我们认识到，在一个具有分形的价格时间序列中，价格的波动

不仅体现在不同的时间尺度上，而且在不同的时间尺度上价格的波动都可以是不连续的

和突变的。这一认识使我们对证券市场价格为什么会出现暴涨、暴跌以至股市崩盘现象

得以解释，这对认识金融市场的非随机游动、对市场风险进行监控及风险防范提供了可

能的理论支持[27]。
关于标度的许多经验事实，是这样一种"公理"的结果，即如果在某个时间尺度上有一种

规律支配着价格的变化，那么更高频或更低频的价格变化也将由相同的规律所支配。金

融系统呈现的标度律与物理系统在临界点附近出现标度相律相对比，使人们可以设想在

金融系统中存在长程的关联性,即系统的每一单元都与其他所有单元存在不同程度的关联

性。虽然目前还没有找到一个能够对不同时间标度的价格行为进行统一描述的随机过程

模型，但这一观点对理解、分析金融数据和价格的变化或许是有启示意义的。
价格变化多标度行为的发现是金融市场标度理论的又一个重要的进展。M.Pasquini等将

价格每天的收益率 作为价格的一种概率测度，并定义 的 阶矩、即配分函数

为广义总和绝对收益。显然，由于的 不同， 中反映的价格波动幅度也就不同。 越大，

突出了大幅度波动的收益率的作用； 越小，突出了小幅度波动收益率的作用。对于不同

的 ，有不同的标度指数，即不同幅度的价格波动具有不同的标度关系[28]，这反映了金

融市场中的多标度行为。
中国科学技术大学的孙霞、吴自勤等学者基于金融数据的标度特性，从多分形角度讨论

分析了香港恒生指数的特点，获得了一系列有益的结果[29]。西南交大的魏宇、黄登仕

等学者通过对上海证券交易所综合股价指数（SSECI）的研究，发现这些数据所具有的多

分形特征，并提出运用多分形理论所提供的信息进行金融风险管理的思路[30,31]。
金融市场的多标度理论或多重分形理论，是一个具有更大理论意义和实际意义的研究领

域，它要求对金融市场的波动进行更细致的分解，分析不同波动规模(风险)的不同标度

关系。这种标度关系的不同说明了不同波动程度的相关性不一样 ,对不同程度的风险，

要采取不同的风险管理措施[32,33,34]。

(5)．基于序列分析法的金融数据的自组织临界性（SOC）的研究[35,36,37]
价格的时间序列是金融领域中最重要的一类数据形式，通过线性分段我们可将连续性的

金融时间序列转化为离散性的字符序列。考虑到价格升降为金融市场中最重要的数值反

映，且升降大小又有差别，不能一概而论。因此，我们根据升降变化，选定角区间作为

我们的分类区间。角区间θ的定义是：若确定一个标识字符的时间尺度为t，而金融时间

序列在该时间尺度范围中变化大小为Δh（t），则相应角区间θ为

规定 ①  类标识字符为 R; ②  类标识字符为 r
③   类标识字符为 d; ④ 类标识字符为 D
由此我们就可将一个金融价格随时间变化的时间序列转化成一个由字符R、r、d、D表示

的字符序列。
依据这一分析思想，我们对香港金融市场中最重要的金融时间序列--恒生指数作了分析

，并转化为相应的符号序列。在字符时间尺度t=30min的定义下，由恒生指数（1996年1

月2日10:01到1996年12月31日12:29）构建的符号序列为
RdddrrrRdrrrdRrRDrRdDrDDdrrRRDdRRrddDdddRDdDdrrrrDrdRdD………
该符号序列的总字符数1894，其中R字符个数319、r字符个数678、D字符个数292、d字符

个数605。
在时间序列转化为字符序列的过程中，字符时间尺度t的选取有重要的作用，t的大小不

同，对时间序列的分析精度（或分辨率）也就不同。对同一个时间序列，其对应的字符

序列长度，以及该字符序列中R 、r 、d 、D字符的占有率NR、Nr、Nd、ND，字符之间的

关连性也不相同。为此，我们对1996年的恒生指数序列在不同的字符时间尺度t对应下的

字符序列的统计特性进行了分析，并发现统计量NR、Nr、Nd、ND　与时间尺度t之间均满

足幂律关系N～t-τ（见图3所示）。

图3  幂律关系N～t-τ的双对数图
幂律行为是自组织临界性(SOC)的基本特征。基于SOC理论且从以上幂律关系N～t-τ的双

对数图可以看到，由字符R、r、d、D，以及由R、r、d、D组成的特定结构--关键词构成

的符号序列是一个典型的SOC系统，金融市场作为一个SOC系统，各种大大小小价格的涨

落均可能发生，但从时间尺度上看，它们遵从的是同样的动力学规律，这为我们深入地

理解证券市场的动力学机制是有益的。






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