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发信人: Lhl (水流沙), 信区: Math
标  题: hilbert问题研究进展
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年06月26日15:56:51 星期三), 站内信件

问      题1.连续统假设    公理化集合论
    1963年,Paul J.Cohen[美国] 在下述意义下证明了第一问题是不
可解的, 即: 连续统假设的真伪不可能在Zermelo-Fraenkel公理系统
内判明。
    2.算术公理的相容性  数学基础
    Hilbert 证明算术公理相容性的设想, 后来发展为系统“Hilbert
计划”, 但1931年Godel 的“不完备定理”提出用“元数学”证明算
术公理相容性之不可能。数学相容性问题至今尚未解决。
    3.两等高等底的四面体体积之相等  几何基础
    这问题很快(1900 年) 即由Hilbert 的学生M.Dehn给出肯定解答。
    4.直线作为两点间最短距离问题  几何基础
    这问题提得过于一般。Hilbert 之后, 许多数学家致力于构造和
探讨各种特殊的度量几何, 在研究第四问题上取得很大进展, 但问题
并未完全解决。
    5.不要定义群的函数的可微性假设的李群概念  拓扑群论
    经过漫长的努力, 这个问题于1952年由Glenson 、Montgomery、
Zippin等人[ 美国] 最后解决, 答案是肯定的。
    6.物理公式的数学处理  数学物理
    在量子力学、热力学等部门, 公理化方法已获很大成功, 但一般
地说, 公理化的物理意味着什么, 仍是需探讨的问题。至于概率论的
公理化, 已由Ａ. Ｈ. Ｋ o  лМ o r o p oB[前苏联,1933]等人建
立。
    7.某些数的无理性与超越性  超越数论
    1934年, Ａ. Ｏ. г e M  ж o H  д[ 前苏联] 和Schneider[
德国] 各自独立解决了这问题的后半部分, 即对于任意代数数α≠0,1
和任意代数无理数β≠0 证明了α攩β攪的超越性,1966 年这一结果
又被A.Baker 等人大大推广和发展了。
    8.素数问题  数  论
    一般情形下的Riemann 猜想至今仍然是猜想。包括在其中的Goldbach
问题至今也未解决。中国数学家在这方面做出了一系列出色的工作。
    9.任意数域中最一般的互反律证明  类域论
    已由高木贞治[ 日,1921 年] 和E.Artin[美1927] 解决。
    10.Diophantius方程可解性的判别  不定分析
    1970年,M a T  ия c e Bич[ 前苏联] 在Robinson、M.Davis、
H.Putnan等人[ 美] 工作的基础上证明了Hilbert 所期望的一般算法
是不存在的。
    11. 系数为任意代数数的二次型  二次型理论
    H.Hasse(1929年) 和C.L.Siegel(1936,1951) 在这个问题上获得
了重要结果。
    12.Abet 域上的Kro-necker定理推广到任意代数有理域  复乘法
理论
    尚未解决
    13. 不可能用只有变数的函数解论一般的七次方程  方程论与实
函数
    连续函数情形于1957年由B.A p H o лъц[ 前苏联] 否定解决
,如要求是解析函数,则问题仍未解决。
    14. 证明某类完全函数系的有限性  代数不变式理论
    1958年, 永田雅宜[ 日] 给出了否定解决, 即证明了存在群г,
其不变式所构成的环不具有有限个整基。
    15.Schubert 计数演算的严格基础  代数几何学
    由于许多数学家的努力,Schubert 演算基础的纯代数处理已有可
能, 但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础, 已由
B.L.Vander Waerden(1938 年 -1940年) 与A.Weil(1950 年) 建立。
    16. 代数曲线与曲面的拓扑  曲线与曲面的拓扑学、常微分方程
定性理论
    对问题的前半部分, 近年来不断有重要结果得到。至于后半部分
,и.T.п eтроъский[ 前苏联] 曾声明, 他证明了n=2 时极
限环的个数不超过3,但这一结论是错误的, 已由中国数学家举出反例
(1979 年) 。
    17. 正定形式的平方表示式  域( 实域) 论
    已由Artin 于1926年解决。
    18. 由全等多面体构成空间  结晶体群理论
    问题的第一部分( 欧氏空间中仅有有限个不同类的带基本区域的
运动群) 于1910年由L.Bieberbarch 肯定解决; 问题的第二部分( 是
否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连可充满全空间的多面体)
已由Reinhardt(1928年) 和Heesch(1935 年) 分别给出三维和二维情
形的例子; 至于将无限个相等的给定形式的立体在空间中给以最紧密
排列的问题至今尚未完全解决。
    19. 正则变分问题的解是否一定解析  椭圆型偏微分方程理论
    这问题在下述意义上已获解决,1904 年,C.B 支猝� m 洄支郄遊
前苏联] 证明了一个两个变元的、解析的非线性椭圆方程, 其解必定
是解析的。这个结果后来又被B ернтейн本人和и. г. п e
тровский[ 前苏联] 推广到多变元和椭圆组的情形。
    20. 一般边值问题  椭圆型偏微分方程理论
    偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
    21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性  线性常微分方程
的大范围理论
    已由Hibert本人(1905 年) 和H.Rohrl[德,1957 年] 解决。
    22. 解析关系的单值化 Riemann曲面论
    一个变数的情形已由P.Koebe[德,1907 年] 等人解决。
    23. 变分法的进一步发展  变分法
    Hilbert 本人和许多其他数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。
  
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      执子之手
        与子相悦
           生死契阔
            与子携老！

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