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标 题: 称球问题(第三节)
发信站: 哈工大紫丁香 (Tue Feb 11 12:31:26 2003) , 转信
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标 题: 称球问题(第三节)
发信站: 北大未名站 (2001年09月04日01:35:35 星期二) , 站内信件
三思科学》电子杂志
第三期，2001年9月1日
http://www.myscience.com.cn/magazine/200109/
称球问题——经典智力题推而广之三
异调
三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况
先引入一个记号：对于任意实数a，我们用{a}表示大于等于a的最
小整数，比如说{2.5}=3，{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整
数，比如说[2.5]=2，[4]=4。
我们首先考虑这样一种布局的集合。假设m，n为两个非负实数，
不同时为0。在编号从1到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是
标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标
准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）。换句话说，
我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：
1. 1号是坏球，且较重；
2. 2号是坏球，且较重；
……
m. m号是坏球，且较重；
m+1. m+1号是坏球，且较轻；
m+2. m+2号是坏球，且较轻；
……
m+n. m+n号是坏球，且较轻。
有一种特殊的情况是m=0或n=0，也就是说坏球的是轻还是重已经知，常
常被用来单独作为智力题。
结论1：
1)在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个球中找出坏球并知道
其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。
2)如果m和n不同时为1，那么称{log3(m+n)}次就足够了。如果
m=n=1，并且另有一标准球，那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1
次也足够了。
这里log3表示以3为底的对数。
需要对2)作点说明。如果m=n=1而没有标准球的话，那么是永远也
称不出坏球来的。把两个球一边一个放在天平上，必然是1号重2号轻。
但是由于没有标准球，我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的，还
是坏球比较轻所以2号是坏的。如果有标准球，只要把1号球和标准球
比较一下。如果天平不平衡，那么1号球是坏球，且比较重；如果天平
平衡，那么2号球是坏球，且比较轻。策略树如下：（用s表示标准球）
|--右--( )
|
|
(1; s)|--平--(2轻)
|
|
|--左--(1重)
现在来证明1)。在上面我们看到，可能的布局是m+n种（1重，2重，
……，m重，m+1轻，m+2轻，……，m+n轻）。假设我们已经有一个策
略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重，那么每一个布局都要
通向策略树上的不同叶子，这棵策略树至少需要有m+n片叶子。但是一
棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必须满足条
件
3H ≥ m+n
也就是
H ≥ log3(m+n)
考虑到H是整数，我们就证明了
H ≥ {log3(m+n)}
现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树，使得m+n
种布局通向它的不同叶子。我们对k=m+n使用数学归纳法。
首先k=1。那么称都不要称，因为必有一坏球，那么坏球就是唯一
的1号球。如果是m=1，n=0，那么1号球比较重；如果是m=0，n=1，那
么1号球比较轻。需要的称量次数为{log3(1)}=0。
对于k=2。m=1，n=1的情况已经讨论过了。考虑m=2，n=0。这时我
们知道坏球比较重。只要把1号球和2号球放在天平两边一称，哪个比较
重哪个就是坏球。策略树如下：
|--右--(2重)
|
|
(1; 2)|--平--( )
|
|
|--左--(1重)
m=0，n=2的情况完全类似。
假设对于m+n＜k的情况我们都可以用{log3(k)}次称出坏球。考虑
m+n=k的情况。我们把1到m号球称为第一组球，m+1到n号球称为第二组
球。
设H={log3(m+n)}＝{log3(k)}。那么我们有
3H-1 ＜ k ≤ 3H
3H-2 ＜ k/3 ≤ 3H-1
3H-2 ＜ {k/3} ≤ 3H-1
于是
{log3{k/3}}=H-1。
现在我们把这k个球分为三堆，第一堆和第二堆分别有{k/3}个球，
并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数
目也一样），第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）。举一个
例子，如果m=7，n=3，那么这三堆可以分成这样：（当然不是唯一的
分法）
第一堆：1，2，3，7 （属于第一组的3个，第二组的1个）
第二堆：4，5，6，8 （属于第一组的3个，第二组的1个）
第三堆：9，10
这样的分堆总是可能的吗？如果m或n是偶数，那就很简单。比如
说假设m是偶数，有两种可能性。如果m/2≥{k/3}，那么就从第一组球
中各取{k/3}个球作为第一和第二堆（这时在第一第二堆中只有第一组
的球）；如果m/2＜{k/3}，那么就把第一组球分为相同的m/2个球的两
堆，再分别用{k/3}-m/2个第二组球去把它们补充成{k/3}个球的两堆
（这时在第三堆中就只有第二组的球了）。很显然这样的分堆符合上
面的要求。
如果m和n都是奇数，事情就有点复杂。首先如果(m-1)/2≥{k/3}
的话，那么按上面的方法也很容易把球按要求分为三堆。但是如果
(m-1)/2＜{k/3}，我们就必须先从第一组中各拿出(m-1)/2个球放入第
一和第二堆，再从第二组中各拿出{k/3}-(m-1)/2个球将它们补充到各
有{k/3}个球为止。这就需要从第二组中总共拿得出2({k/3}-(m-1)/2)
个球来。所以必须有
2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n
即
2{k/3} ≤ (m-1)+n
2{k/3} ≤ k-1
这个不等式在k=3或k＞4时总是成立的，但是对k=4就不成立。所以我
们要对k=4且m，n都是奇数的情况作特殊处理。我们只需考虑m=3，n=1
这种情况。把1号球和2号球放在天平两端，如果不平衡，那么较重的
那个是坏球；如果平衡，那么把1号球和3号球放在天平两端，平衡则
4号球为坏球且较轻，不平衡则3号球为坏球且较重。策略树如下：
|--右--(2重)
|
| |--右--(3重)
(1; 2)|--平--(1; 3)|--平--(4轻)
| |--左--( )
|
|--左--(1重)
m=1，n=3的情况完全类似。
于是现在我们就可以毫无障碍地假设，我们已经将m+n=k个球分为
这样的三堆：第一堆和第二堆分别有{k/3}个球，并且这两堆中属于第
一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样），第三堆
中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）。
我们把第一堆球和第二堆球分别放在天平的左右两端。如果平衡，
那就说明坏球在第三堆里，这样我们就把问题归结为一个k-2{k/3}个
球的问题；如果右边比较重，那么我们得到结论：要么是坏球比较轻，
并且它在第一堆中的第二组球，也就是可能较轻的那些球中，要么是
坏球比较重，并且它在第二堆中的第一组球，也就是可能较重的那些
球中，下面它就归结为一个{k/3}个球的问题了；如果是左边比较重，
那么我们也完全类似地将问题归结为一个{k/3}个球的问题。开始的策
略树如下：（小球的编号作了适当变化：假设1，2，……，s为第一堆
中的第一组球，1'，2'……，s'为第二堆中的第一组球，(s+1)，……
为第一堆中的第二组球，(s+1)'为为第二堆中的第二组球）
归结为坏球在
|--右--(1',2',……,s',s+1,……)中
| 的问题（{k/3}个球）
|
|
(1,2,……,s,s+1,……; |
1',2',……,s',(s+1)',……)|--平--归结为坏球在第三堆中的问题
| （k-2{k/3}个球）
|
| 归结为坏球在
|--左--(1,2,……,s,(s+1)',……)中
的问题（{k/3}个球）
考虑到k-2{k/3}≤{k/3}，另外此次称量后我们至少可以得到一个标准
球（如果不平衡，第三堆里的球均为标准球，否则第一第二堆里的球
均为标准球）。根据归纳假设，上面得到“左”、“平”、“右”三
种情况归结后的问题都可以用{log3{k/3}}=H-1次的称法来解决。所
以加上这第一次称量，k个球只需{log3(k)}次称量就可以找出坏球。
在这节的最后我们给出一个具体的例子：如果有27个球，其中有
一个坏球，而且已知第一堆1-14号球如果其中一个是坏球，那么它比
标准球重，第二堆15-27号球如果其中一个是坏球，那么它比标准球轻。
根据结果1，我们知道只要[log3(27)]=3次就可以找出坏球。
按照上面的称法，首先将27个球分为三堆，第一第二堆的个数为
{27/3}=9个球，而且其中分别属于第一和第二组的球的个数相同。于
是我们可以取：
第一堆： 1-7，15-16
第二堆：8-14，17-18
第三堆：19-27
现在把第一和第二堆放在天平左右两端，如果平衡，我们就归结为在
19-27号9个球中其中有个较轻坏球的问题；如果右边重，我们就归结
为坏球在8-14，15-16中的问题；如果左边重，我们就归结为坏球在
1-7，17-18中的问题。这三种情况都是9个球的问题。
|--右--归结为坏球在8-14，15-16中的问题
|
|
(1-7,15-16; |
8-14,17-18|--平--归结为坏球在19-27中的问题
|
|
|
|--左--归结为坏球在1-7，17-18中的问题
三种情况中我们只具体做一种：坏球在1-7，17-18中的问题。同
样地我们将其分为三堆
第一堆：1-3
第二堆：4-6
第三堆：7，17-18
照上面类似地我们有策略树
|--右--归结为坏球在4-6中的问题
|
|
(1-3; 4-6)|--平--归结为坏球在7，17-18中的问题
|
|
|--左--归结为坏球在1-3中的问题
于是变成了3个球的问题，解决方法就很显然了，我们把上面的策略树
写完整：
|--右--( 5重)
|--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
| |--左--( 4重)
|
| |--右--(17轻)
(1-3; 4-6)|--平--(17;18)|--平--( 7重)
| |--左--(18轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
|--左--( 1重)
类似地我们写出坏球在8-14，15-16中的问题的策略树：
|--右--(12重)
|--右--(11;12)|--平--(13重)
| |--左--(11重)
|
| |--右--(15轻)
(8-10;11-13)|--平--(15;16)|--平--(14重)
| |--左--(16轻)
|
| |--右--( 9重)
|--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
|--左--( 8重)
和坏球在19-27中的问题的策略树：
|--右--(19轻)
|--右--(19;20)|--平--(21轻)
| |--左--(20轻)
|
| |--右--(25轻)
(19-21;22-24)|--平--(25;26)|--平--(27轻)
| |--左--(26轻)
|
| |--右--(22轻)
|--左--(22;23)|--平--(24轻)
|--左--(23轻)
于是最终将此三棵策略树拼起来的到最终解法：
|--右--(12重)
|--右--(11;12)|--平--(13重)
| |--左--(11重)
|
| |--右--(15轻)
|--右--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14重)
| 11-13)| |--左--(16轻)
| |
| | |--右--( 9重)
| |--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
| |--左--( 8重)
|
| |--右--(19轻)
| |--右--(19;20)|--平--(21轻)
| | |--左--(20轻)
| |
| | |--右--(25轻)
(1-7,15-16; |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27轻)
8-14,17-18)| 22-24)| |--左--(26轻)
| |
| | |--右--(22轻)
| |--左--(22;23)|--平--(24轻)
| |--左--(23轻)
|
| |--右--( 5重)
| |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
| | |--左--( 4重)
| |
| | |--右--(17轻)
|--左--(1-3; |--平--(17;18)|--平--( 7重)
4-6)| |--左--(18轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
|--左--( 1重)
对一棵策略树正确性的验证比较容易（虽然比较烦）。首先检查
是否所有的布局都在某片叶子上了；其次就是检验每个布局经过树中
的每个节点的流向是否正确，就是说用此节点上的称量方法，它所属
的左中右分支符合实际。
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