Math 版 (精华区)

发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: Hilbert的Mathematical Problems演讲前半部4
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年05月06日16:44:31 星期二), 站内信件

To speak of a very different region of research, I remind you of the problem 
of three bodies. The fruitful methods and the far-reaching principles which 
Poincaré has brought into celestial mechanics and which are today recognized 
and applied in practical astronomy are due to the circumstance that he 
undertook to treat anew that difficult problem and to approach nearer a 
solution. 

The two last mentioned problems—that of Fermat and the problem of the three 
bodies—seem to us almost like opposite poles—the former a free invention of 
pure reason, belonging to the region of abstract number theory, the latter 
forced upon us by astronomy and necessary to an understanding of the simplest 
fundamental phenomena of nature. 

But it often happens also that the same special problem finds application in 
the most unlike branches of mathematical knowledge. So, for example, the 
problem of the shortest line plays a chief and historically important part in 
the foundations of geometry, in the theory of curved lines and surfaces, in 
mechanics and in the calculus of variations. And how convincingly has F. 
Klein, in his work on the icosahedron, pictured the significance which 
attaches to the problem of the regular polyhedra in elementary geometry, in 
group theory, in the theory of equations and in that of linear differential 
equations. 

In order to throw light on the importance of certain problems, I may also 
refer to Weierstrass, who spoke of it as his happy fortune that he found at 
the outset of his scientific career a problem so important as Jacobi's 
problem of inversion on which to work. 

Having now recalled to mind the general importance of problems in 
mathematics, let us turn to the question from what sources this science 
derives its problems. Surely the first and oldest problems in every branch of 
mathematics spring from experience and are suggested by the world of external 
phenomena. Even the rules of calculation with integers must have been 
discovered in this fashion in a lower stage of human civilization, just as 
the child of today learns the application of these laws by empirical methods. 
The same is true of the first problems of geometry, the problems bequeathed 
us by antiquity, such as the duplication of the cube, the squaring of the 
circle; also the oldest problems in the theory of the solution of numerical 
equations, in the theory of curves and the differential and integral 
calculus, in the calculus of variations, the theory of Fourier series and the 
theory of potential—to say nothing of the further abundance of problems 
properly belonging to mechanics, astronomy and physics.

But, in the further development of a branch of mathematics, the human mind, 
encouraged by the success of its solutions, becomes conscious of its 
independence. It evolves from itself alone, often without appreciable 
influence from without, by means of logical combination, generalization, 
specialization, by separating and collecting ideas in fortunate ways, new and 
fruitful problems, and appears then itself as the real questioner. Thus arose 
the problem of prime numbers and the other problems of number theory, 
Galois's theory of equations, the theory of algebraic invariants, the theory 
of abelian and automorphic functions; indeed almost all the nicer questions 
of modern arithmetic and function theory arise in this way. 

In the meantime, while the creative power of pure reason is at work, the 
outer world again comes into play, forces upon us new questions from actual 
experience, opens up new branches of mathematics, and while we seek to 
conquer these new fields of knowledge for the realm of pure thought, we often 
find the answers to old unsolved problems and thus at the same time advance 
most successfully the old theories. And it seems to me that the numerous and 
surprising analogies and that apparently prearranged harmony which the 
mathematician so often perceives in the questions, methods and ideas of the 
various branches of his science, have their origin in this ever-recurring 
interplay between thought and experience. 

 

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