Math 版 (精华区)

发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: Hilbert的Mathematical Problems演讲前半部5
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年05月06日16:45:28 星期二), 站内信件

It remains to discuss briefly what general requirements may be justly laid 
down for the solution of a mathematical problem. I should say first of all, 
this: that it shall be possible to establish the correctness of the solution 
by means of a finite number of steps based upon a finite number of hypotheses 
which are implied in the statement of the problem and which must always be 
exactly formulated. This requirement of logical deduction by means of a 
finite number of processes is simply the requirement of rigor in reasoning. 
Indeed the requirement of rigor, which has become proverbial in mathematics, 
corresponds to a universal philosophical necessity of our understanding; and, 
on the other hand, only by satisfying this requirement do the thought content 
and the suggestiveness of the problem attain their full effect. A new 
problem, especially when it comes from the world of outer experience, is like 
a young twig, which thrives and bears fruit only when it is grafted carefully 
and in accordance with strict horticultural rules upon the old stem, the 
established achievements of our mathematical science. 

Besides it is an error to believe that rigor in the proof is the enemy of 
simplicity. On the contrary we find it confirmed by numerous examples that 
the rigorous method is at the same time the simpler and the more easily 
comprehended. The very effort for rigor forces us to find out simpler methods 
of proof. It also frequently leads the way to methods which are more capable 
of development than the old methods of less rigor. Thus the theory of 
algebraic curves experienced a considerable simplification and attained 
greater unity by means of the more rigorous function-theoretical methods and 
the consistent introduction of transcendental devices. Further, the proof 
that the power series permits the application of the four elementary 
arithmetical operations as well as the term by term differentiation and 
integration, and the recognition of the utility of the power series depending 
upon this proof contributed materially to the simplification of all analysis, 
particularly of the theory of elimination and the theory of differential 
equations, and also of the existence proofs demanded in those theories. But 
the most striking example for my statement is the calculus of variations. The 
treatment of the first and second variations of definite integrals required 
in part extremely complicated calculations, and the processes applied by the 
old mathematicians had not the needful rigor. Weierstrass showed us the way 
to a new and sure foundation of the calculus of variations. By the examples 
of the simple and double integral I will show briefly, at the close of my 
lecture, how this way leads at once to a surprising simplification of the 
calculus of variations. For in the demonstration of the necessary and 
sufficient criteria for the occurrence of a maximum and minimum, the 
calculation of the second variation and in part, indeed, the wearisome 
reasoning connected with the first variation may be completely dispensed with—
to say nothing of the advance which is involved in the removal of the 
restriction to variations for which the differential coefficients of the 
function vary but slightly. 

While insisting on rigor in the proof as a requirement for a perfect solution 
of a problem, I should like, on the other hand, to oppose the opinion that 
only the concepts of analysis, or even those of arithmetic alone, are 
susceptible of a fully rigorous treatment. This opinion, occasionally 
advocated by eminent men, I consider entirely erroneous. Such a one-sided 
interpretation of the requirement of rigor would soon lead to the ignoring of 
all concepts arising from geometry, mechanics and physics, to a stoppage of 
the flow of new material from the outside world, and finally, indeed, as a 
last consequence, to the rejection of the ideas of the continuum and of the 
irrational number. But what an important nerve, vital to mathematical 
science, would be cut by the extirpation of geometry and mathematical 
physics! On the contrary I think that wherever, from the side of the theory 
of knowledge or in geometry, or from the theories of natural or physical 
science, mathematical ideas come up, the problem arises for mathematical 
science to investigate the principles underlying these ideas and so to 
establish them upon a simple and complete system of axioms, that the 
exactness of the new ideas and their applicability to deduction shall be in 
no respect inferior to those of the old arithmetical concepts. 

To new concepts correspond, necessarily, new signs. These we choose in such a 
way that they remind us of the phenomena which were the occasion for the 
formation of the new concepts. So the geometrical figures are signs or 
mnemonic symbols of space intuition and are used as such by all 
mathematicians. Who does not always use along with the double inequality a > 
b > c the picture of three points following one another on a straight line as 
the geometrical picture of the idea "between"? Who does not make use of 
drawings of segments and rectangles enclosed in one another, when it is 
required to prove with perfect rigor a difficult theorem on the continuity of 
functions or the existence of points of condensation? Who could dispense with 
the figure of the triangle, the circle with its center, or with the cross of 
three perpendicular axes? Or who would give up the representation of the 
vector field, or the picture of a family of curves or surfaces with its 
envelope which plays so important a part in differential geometry, in the 
theory of differential equations, in the foundation of the calculus of 
variations and in other purely mathematical sciences? 

 

--
※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.239.193]