Math 版 (精华区)

发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: Hilbert的Mathematical Problems演讲前半部6
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年05月06日16:48:58 星期二), 站内信件

The arithmetical symbols are written diagrams and the geometrical figures are 
graphic formulas; and no mathematician could spare these graphic formulas, 
any more than in calculation the insertion and removal of parentheses or the 
use of other analytical signs. 

The use of geometrical signs as a means of strict proof presupposes the exact 
knowledge and complete mastery of the axioms which underlie those figures; 
and in order that these geometrical figures may be incorporated in the 
general treasure of mathematical signs, there is necessary a rigorous 
axiomatic investigation of their conceptual content. Just as in adding two 
numbers, one must place the digits under each other in the right order, so 
that only the rules of calculation, i. e., the axioms of arithmetic, 
determine the correct use of the digits, so the use of geometrical signs is 
determined by the axioms of geometrical concepts and their combinations. 

The agreement between geometrical and arithmetical thought is shown also in 
that we do not habitually follow the chain of reasoning back to the axioms in 
arithmetical, any more than in geometrical discussions. On the contrary we 
apply, especially in first attacking a problem, a rapid, unconscious, not 
absolutely sure combination, trusting to a certain arithmetical feeling for 
the behavior of the arithmetical symbols, which we could dispense with as 
little in arithmetic as with the geometrical imagination in geometry. As an 
example of an arithmetical theory operating rigorously with geometrical ideas 
and signs, I may mention Minkowski's work, Die Geometrie der Zahlen. 

Some remarks upon the difficulties which mathematical problems may offer, and 
the means of surmounting them, may be in place here. 

If we do not succeed in solving a mathematical problem, the reason frequently 
consists in our failure to recognize the more general standpoint from which 
the problem before us appears only as a single link in a chain of related 
problems. After finding this standpoint, not only is this problem frequently 
more accessible to our investigation, but at the same time we come into 
possession of a method which is applicable also to related problems. The 
introduction of complex paths of integration by Cauchy and of the notion of 
the IDEALS in number theory by Kummer may serve as examples. This way for 
finding general methods is certainly the most practicable and the most 
certain; for he who seeks for methods without having a definite problem in 
mind seeks for the most part in vain. 

In dealing with mathematical problems, specialization plays, as I believe, a 
still more important part than generalization. Perhaps in most cases where we 
seek in vain the answer to a question, the cause of the failure lies in the 
fact that problems simpler and easier than the one in hand have been either 
not at all or incompletely solved. All depends, then, on finding out these 
easier problems, and on solving them by means of devices as perfect as 
possible and of concepts capable of generalization. This rule is one of the 
most important levers for overcoming mathematical difficulties and it seems 
to me that it is used almost always, though perhaps unconsciously. 

 

--
※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.239.193]