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发信人: rainy (段誉), 信区: Math
标  题: 数学经典问题·费马最後定理 
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年07月13日10:07:56 星期五), 站内信件

被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了

一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於

有人呼叫『我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古
世
纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre 
de 
Fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数
学
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣
，
世人冠以「业余王子」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古

希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起

来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问
题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 
=z2，
此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方

等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、
y=4、
z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…等等。

费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 
+y3=z3
就无法找到整数解。

当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证

明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难

题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪

难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖

章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学

家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定

理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值

至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」。

二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是

成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费

马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。

虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终

於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实

威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。

五０年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，後来由另一位数学

家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八

０年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是

根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最後定理也是

正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的

研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄

以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的

学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的

解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔

夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金

左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。

要证明费马最後定理是正确的

（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解）

只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。


附录：费马小传

费马（Pierre de Fermat）是十七世纪最伟大的数学家之一，1601年8月20日生於

法国南部土鲁士（Toulous）附近的一个小镇，父亲是一个皮革商，1665年1月12日

逝世。

费马在大学时专攻法律，学成後成为专业的律师，也曾经当过土鲁士议会议员。

费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者，精通数国语言，对於数学及物理也有浓

厚的兴趣，是一位多采多艺的人。虽然他在近三十岁才开始认真专研数学，但是他

对数学的贡献使他赢得业余王子（the prince of amateurs）之美称。这个头衔正

足以表彰他在数学领域的一级成就，他在笛卡儿（Descartes）之前引进解析几何
，
而且在微积分的发展上有重大的贡献，尤其为人称道的是费马和巴斯卡(Pascal)被

公认是机率论的先驱。然而人们所津津乐道的则是他在数论上的一些杰作，例如费

马定理（又称费马小定理，以别於费马最後定理）：apo a(modp)，对任意整数a及

质数p均成立。这个定理第一次出现於1640年的一封信中，此定理的证明後来由欧

拉（Euler）发表。费马为人非常谦虚、不尚名利，生前很少发表论文，他大部分

的作品都见诸於与友人之间的信件和私人的札记，但通常都未附证明。最有名的就

是俗称的费马最後定理，费马天生的直觉实在是异常敏锐，他所断言的其他定理，

後来都陆续被人证出来。有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩。

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