Math 版 (精华区)

发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标  题: 不完全数之迷之欧几里德的公式 
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Apr  7 15:12:31 2000), 转信

发信站: 南京大学小百合站 (Mon Jan 31 09:01:48 2000), 转信

提到完全数，就不能不说说欧几里得和他在这个领域的天才闪现。

当时，古希腊人只知道4个完全数，当伟大的欧几里得竟从中看到了
这样一个公式：2^(n-1)*(2^n-1),当n分别取2，3，5，7时，该公式
就分别得出了6，28，496和8128 ---- 前4个完全数！(赞美欧几里得
吧，他无愧于一切的赞美！)

更仔细地审视这个公式，我们会发现更多有趣的东西：当以这个公式
得出前4个完全数的时候，n为2，3，5，7，全是素数！不奇怪吗？
而事实上，此时的2^n-1也分别取3，7，31，127，也竟然全为素数!
偶然的背后，是否隐藏着某些本质的东西呢？

记得在大约两个月前的一篇文章里，我曾经给出过一个证明，既
2^n-1为素数的必要条件是n为素数。(不好意思，不是我证的。)但
n为素数并非充分条件。举例来说：当n=11时, 2^n-1=2047=23*89.

而欧几里得则证明了，一旦2^n-1为素数，该公式将导出一个完全数
。在那2000年后的18世纪，一位瑞士的数学家尤勒更进一步地证明了
该公式将给出全部的偶数完全数！

非常令人振奋的结果吧！但人们继而有两个问题要问。其一，偶数
完全数是否是无穷的？2^n-1为素数的条件是什么？其二，是否存在
奇数完全数？

虽然江山代有才人出，但遗憾的是，这两个问题仍悬而未决。在
接下来的篇章里，我将分别论述这两大谜团。
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※ 修改:．micheal 于 Apr  7 15:15:33 修改本文．[FROM: hitsat.hit.edu.c]