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发信人: eos (白杨), 信区: Math
标  题: 《微分流形》(转寄)(转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月09日10:21:27 星期五), 转信

【 以下文字转载自 eos 的信箱 】
【 原文由 optik@smth.org 所发表 】
发信人: fft (冬眠的蛙※Science的片儿警), 信区: Science       
标  题: 《微分流形》
发信站: BBS 水木清华站 (Fri Nov  9 00:02:03 2001)

现在想来讲两句"微分流形", 
我想大概给94开的是第一次, 
当时是作为基础专业的选修课的, 
我是逃了三分之一的抽象代数课去听的 
(当然,应该解释为为听这课逃掉了三分 
之一的抽象代数课,由于其他原因的还不算在内*_^), 
最后参加考试,因为没选这课,所以就和黄老师 
商量,如果没有A的话就算了,结果就是我这课没有成绩 
--那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A. 
  
说正经的,微分流形可以认为是"(微分)流形上的 
微积分与微分几何初步".在目前教材尚未确定的 
情况下,我们只能来看一下具体的内容了:-( 
(当然我想说还是有本教材的好,这样至少有个明确的目的, 
不然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义,但 
总是有点别扭的,我以为) 
  
首先自然是流形的概念,我们自然不能指望从 
Bourbaki的"流形"开始念,一般来说,在任何一本讲微分 
几何的书里面都有这一概念的介绍,只不过详略不同而已. 
  
  
复旦曾经有相当长的一段时间用 
1.W.M.Boothby 
"An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" 
作为微分几何课本,从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦, 
讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅, 
但是我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细, 
几乎所以的东西都是有详细证明的. 
理图总书库里面有不少. 
  
  
讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏 
空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等. 
  
中文书里面有 
  
2.陈省身,陈维桓 
"微分几何初步" 
  
很有大师风范,只是印刷质量不算太好.(至于陈维桓自己写的那本北大教材, 
我比较倾向于引用北大一位师兄的说法:"陈 
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但 
还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意",所以,还是免了吧) 
  
另外被认为写得比较好的中文书有 
  
3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英 
"黎曼几何初步" 
  
这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了 
--我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑 
流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题, 
书末更有一个索引,实在是本好书. 
  
  
有胃口的话,还可以看看 
  
4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov 
"Modern Geometry--Methods and Applications" 
的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过). 
该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说 
可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷 
的第一章. 
  
  
  
二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子, 
另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思 
(至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本 
  
5.Gallot, Hulin, Lafontain 
"Introduction to Riemannian Geometry"(?) 
是Springer-Verlag的Universitext中的一本,应该说写得很好, 
评价(我听到的)也很不错. 
  
用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理 
都是要明白的. 
  
  
  
J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的, 
  
6.J.Milnor 
Topology from a differential point of view 
(中译本:从微分观点看拓扑) 
  
7.J.Milnor 
Morse Theory 
(中译本:莫尔斯理论) 
如果还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的. 
  
  
  
讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等. 
这里有 
  
8.Spivak 
"Calculus on Manifolds"(?) 
(中文名字就叫"流形上的微积分")⒎ 流形" 
可以一看. 
  
有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形 
上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习, 
不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少? 
  
  
  
  
9.V.I.Arnold 
"Mathematical Mathods of Classical Mechanics" 
里面关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了. 
  
  
  
还可以一看的书有 
  
10.R.Narasimhan 
"Analysis on Real and Complex Manifolds" 
(中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986) 
陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正. 
我想至少前一百页是可以看的. 
  
  
11.苏竞存 
"流形的拓扑学" 
此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话, 
很有意思. 
  
  
  
有一本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的, 

12.C. von Westenholz 
"Differential forms in Mthematical Physics" 
(这书有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式, 
理图里面至少有一个版本) 
  
这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有 
证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子 
没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能 
给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了 
一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如 
说我那时候),应该说帮助不小. 
  
至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何", 
可能是太深了点,非物理学家不能理解. 

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Fermion  Boson  Fock space  Wick's theorem  normal product ...

别以为我是学场论的，我学的是可积丛 :)


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