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发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标  题: 现代数学基础研究主要学派及哲学思想2
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu May  4 18:09:58 2000), 转信

发信站: 南京大学小百合站 (Sun Apr 30 16:04:51 2000), 转信

三.三大主要学派的诞生
    数学基础的危机向数学家们提出了一个问题：如何解决数学基础的可靠性和基础性
的问题？可是要解决这个问题，既有技术问题，又有哲学问题。从技术上说，首先必须
找到产生悖论的原因。根据罗素对悖论成因的分析，他认为：集合论产生悖论的根源在
于集合的定义出现循环定义，或者叫做非直谓定义，即一个对象集合包含着只能用该集
合才能定义的元素；从哲学上说，就已经出现的悖论来看，都出现“所有......集合的
集合”的情况，这是一个涉及无穷总体的问题，也就是说，它涉及对哲学理论中的无穷
的认识问题。
    但是，要解决这两个问题，首先遇到的不是技术性的问题，而是如何看待数学的真
理性和无穷的问题，然后才能从具体技术入手去解决它。对这两个问题的不同认识就产
生了不同的哲学观点，而在不同哲学观点支配下就产生不同的逻辑解决方法。这两方面
结合在一起就在数学史上构成了三个不同的数学基础研究学派：逻辑主义、直觉主义和
形式主义。

四.三大主要学派的哲学思想
    数学基础从产生的初期便分成相互对立的三大学派：最早出现的是以罗素为代表的
逻辑主义，它强调逻辑而排斥直觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础；继之而起的是以
布劳威尔为代表的直觉主义，它强调直觉而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础；
最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义，认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个
地具有逻辑的特征，它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性和
合法性。三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大论战。他们从各自的
哲学观点出发，对悖论引起的数学危机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理
性等方面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数学的真理性以及与数学
有关的逻辑问题等进行哲学思考。
（一）.逻辑主义
    逻辑主义学派的论题是，数学可以还原为逻辑学，因此，数学只不过是逻辑学的一
部分。他们认为，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学定理可以通过
纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来。按照罗素的主张，数学只不过是由命题p推出
命题q的这种演绎的总和。他认为数学研究的对象是形式结构，数学只有形式而无内容。
即，逻辑主义哲学观点的基本内容包括：一是先有逻辑而后有数学，二是整个数学大厦
可以完全建立在逻辑的基础上。
评述：
1.  以罗素为代表的逻辑主义学派认为，数学是由逻辑派生出来的，即数学与经验事实
无关，而是先验地从逻辑公理系统演绎出来的。依次，数学变成纯逻辑的产物。显然，
这种观点与数学渊源于客观实际是背道而驰的，所以说逻辑主义从哲学和认识论的观点
来看，其出发点带有唯心主义的色彩。
2.  方法的不可行性
    逻辑主义者企图从一个逻辑公理系统中演绎出整个数学是不可能的。尽管他们作了
大量的工作，然而他们从自己设计的所谓出来的纯逻辑公理系统的基础上进行逻辑演绎
推理时，却“暗地里”利用了集合论中的无穷公理和选择公理，而这两个公理并非逻辑
公理。给逻辑主义以致命打击的是哥德尔的不完备性定理，它证明了从逻辑并不能推出
算术的正确性来，因而宣告了把数学全部归结为逻辑的企图是不可能的。
3.   逻辑主义对数学发展的主要贡献
    以罗素为代表的逻辑主义学派的历史功绩是不可磨灭的。他们为现代数理逻辑奠定
了基础。而符号逻辑的公理化，揭示了数学与逻辑之间的关系，对于当今计算机的研制
和人工智能的研究具有巨大现实意义。 
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                                      .     .  .         .  .
※ 修改:．micheal 于 May  4 18:12:37 修改本文．[FROM: hitsat.hit.edu.c]