Math 版 (精华区)

发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标  题: 现代数学基础研究主要学派及哲学思想4
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu May  4 18:10:27 2000), 转信

发信站: 南京大学小百合站 (Sun Apr 30 16:06:01 2000), 转信

（三）.形式主义
    希尔伯特是反对直觉主义最有力的形式主义学派的领导人，而且是当之无愧的最伟
大的现代数学家。在1899年至1931年发展的十几部著作中，他提出了大部分形式主义观
点。形式主义逻辑和书必须同时加以研究，两者的公理系统的基本概念都是没有意义的。
数学思维的对象是符号本身，符号就是本质。公理也只是一行行符号，无所谓真假，只
要证明该公理系统是相容的，那么该公理系统便获得承认。因此，数学本身是一堆形式
演绎系统的集合，每个形式系统都包含自己的逻辑、概念、公理、定理及其推导法则。
数学的任务就是发展出每一个由公理系统所规定的形式演绎系统，在每一个系统中，通
过一系列程序来证明定理，只要这种推演过程不产生矛盾，便获得一种真理。
评述：
    首先，希尔伯特一方面要尽量地保留经典数学中的基本概念。方法和逻辑推演规则
，特别是涉及到有关无限概念的逻辑演绎规则。但另一方面，又为了保证所有数学证明
的可靠性及整个数学大厦的纯洁性。他们把数学分为“真实数学”和“理想数学”两大
类。凡是涉及到有限概念和有限集合的数学称为真实数学，而涉及到实无限概念和超穷
方法的数学系统称为理想数学。同时，希尔伯特试图通过有限步骤的构造性方法，在元
数学中实现理想数学的协调性和完全性，以达到实无限的理想化在应用上的有效性。然
而，哥德尔的“不完备性定理”表明形式系统在数学中决非可能，根本不可能穷尽全部
数学真理，而只具有相对的真理性，有力地论证了马克思主义关于相对真理与绝对真理
相互关系的理论。
    其次，形式主义者数学的真理性归结为逻辑的无矛盾性是有其片面性的。因为满足
逻辑无矛盾的公理系统不一定都是真理，它仅是发展数学和验证数学真假性的必要条件
，而非充分条件。
    最后，尽管形式主义者忽视了数学渊源于实际，而且片面地夸大了逻辑对数学的作
用，然而形式主义学派对二十世纪的数学进展却起了很大的推动作用，特别是对数学基
础理论的研究。在“元数学”这个领域内的工作大大改进了数学家们对数学推理本质的
理解，把形式公理学向前推进了一大步，从而成为公理学发展史上最重要的转折点，标
志着数学的发展进入了研究形式系统的新阶段。现在，元数学已发展成为数理逻辑四大
分支之一，它提出的可判定性问题导致可计算性和一种算法概念的确定。由希尔伯特及
其使之精确化的形式数学语言，奠定了构造算法语言的基础。 
--
※ 修改:．micheal 于 May  4 18:13:08 修改本文．[FROM: hitsat.hit.edu.c]