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发信人: zhili (北侠), 信区: Math
标  题: 1.有限单群
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat Nov 29 04:22:51 1997), 转信

From: smoke.bbs@bbs.rjgc.whu.edu.cn (小烟)
Date: 14 Jun 1997 09:03:45 GMT

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    先讲讲有限单群的问题。
1。有限单群
     我们知道，数学的发展中有一个基本观念———群。群也是数学之中各方面
的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的
群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难
极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。
命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G
                  -1
                 g H g ∈H
则称H为正规的(nomal). 正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研
究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(simple group).单群除了
它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的正规子群(normal
subgroup). 数学上称其为简单群，其实一点也不简单。

有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)(即群中
元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An
(n>=5), Lie型单群)外，后来发现了26个零零碎碎的有限单群(散在单群，离散
单群), 现在知道，最大的散在单群的阶是
  41 20 9 6  2  3                                        54
2  3  5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=10
这是很大的单群，由B。Fisher 和 R。L.Griess两位数学家所发现，数学家称
它为魔群(怪物，Monster).

单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数学上一个
很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构
都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并未将证明定出来。他讲若将证明写
出来至少有1000页，而1000页的证明无论如何很容易有错误。可是Gorenstein
又说，不要紧，若有错误，这个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀
疑这样的证明是否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还
需要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无法解决。段
学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以问一下他的意见。我个人
觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，当你不能做或不喜欢做一个问题时，
你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜欢做的问题。

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流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱

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※ Origin: 珞珈山水 ◆ From: 202.114.2.91

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