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发信人: zhili (北侠), 信区: Math
标  题: 3.椭圆曲线
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat Nov 29 04:22:56 1997), 转信

From: smoke.bbs@bbs.rjgc.whu.edu.cn (小烟)
Date: 14 Jun 1997 09:08:20 GMT

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3 椭圆曲线
最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方
程式
                  n     n     n
                 x  +  y  =  z ,n>2
没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明，最近由
Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段，是由
他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat 定理现在已经有了一个完全的证
明。整个文章发表在最近一期的“Annals of Mathematics"(Prinston大学杂
志，1996，第一期)整个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理
(Wiles
为此同Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National Academy
Science Award in Mathematics).

有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一个分支。有以下一则
故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度
天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向
Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法
写为2个立方之和的最小的数，如
                         3      3   3      3
                 1729 = 1  +  12 = 9  +  10
这结果可用椭圆曲线论来证明。

我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程
                 P(x,y) = 0
(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是
数论中的一个主要问题。

需要说明的，在Wiles 完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.
Ribet ,他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于
椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个关于椭圆曲线的
定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在
复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。
Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简
单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。
所谓椭圆曲线，就是把这个曲线看成复平面内亏格(genus)等于1的复曲线。亏格等于
1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面的点有一个可交换群的构造。两个点
可以加起来，且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所
有曲线的亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等于1，
所有曲面若其曲率等于—1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫椭圆。亏格等于0的叫抛
物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科学杂志
(Science)，有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应
用。而中国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性
的，题为“代数几何与代数数论”的会议，由冯克勤先生主持。

从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat定理的结论虽然简单，但它
蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙，
学问之奥，令人拜赏。

我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定
要吸取几千年所有的进步。

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流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱

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