Math 版 (精华区)

发信人: kaola (坚决不灌水的考拉熊), 信区: Math
标  题: [合集]请问计算数学的同学一个问题
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年01月13日02:07:47 星期一), 站内信件


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 han (擦网高手)                       于 2002年09月29日18:43:17 星期天 说道:

对这种形式的方程用什么方法去解（数值方法）：
y''+f(x)*y'+g(x)*(y^5-y^3)=0;也就是说没有微分项的，却出现了原函数的高次项，
一般用什么方法去处理？请教计算数学的同学，用matlab如何解决？谢谢了

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 key (也许)                           于 Mon Sep 30 10:18:56 2002) 说道:

【 在 han (擦网高手) 的大作中提到: 】
: 对这种形式的方程用什么方法去解（数值方法）：
: y''+f(x)*y'+g(x)*(y^5-y^3)=0;也就是说没有微分项的，却出现了原函数的高次项 ..

: 一般用什么方法去处理？请教计算数学的同学，用matlab如何解决？谢谢了
微分方程的万能数值解法是：高阶--引入新变量→一阶方程组--欧拉，龙格库塔等方法→
解
比如这个问题可以化成
y'=z
z'=f(x,y,z)
只要有两个初始条件就可以逐步求数值解了。
欧拉或龙格库塔等方法你可以找本数值分析的书看看。



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 zjliu (Robusting)                    于 2002年09月30日15:37:27 星期一 说道:

这个微分方程是非线性的，你说的方法好像对线性的
高阶方程有效。
【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 han (擦网高手) 的大作中提到: 】
: : 对这种形式的方程用什么方法去解（数值方法）：
: : y''+f(x)*y'+g(x)*(y^5-y^3)=0;也就是说没有微分项的，却出现了原函数的高次项 ..
: 
: : 一般用什么方法去处理？请教计算数学的同学，用matlab如何解决？谢谢了
: 微分方程的万能数值解法是：高阶--引入新变量→一阶方程组--欧拉，龙格库塔等方法→
: 解
: 比如这个问题可以化成
: y'=z
: z'=f(x,y,z)
: 只要有两个初始条件就可以逐步求数值解了。

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 key (也许)                           于 Mon Sep 30 16:14:26 2002) 说道:

【 在 zjliu (Robusting) 的大作中提到: 】
: 这个微分方程是非线性的，你说的方法好像对线性的
: 高阶方程有效。
: : : y''+f(x)*y'+g(x)*(y^5-y^3)=0;也就是说没有微分项的，却出现了原函数的高 ..

: : 比如这个问题可以化成
: : y'=z
: : z'=f(x,y,z)
: : 只要有两个初始条件就可以逐步求数值解了。
没有关系啊。f(x,y,z)没有特别限制。
有了x,y,z的数值能算出一个z'就好了。
其实本质和一阶微分方程一样的。
y'=f(x,y)并没有对f(x,y)进行限制的必要。



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 zjliu (Robusting)                    于 2002年09月30日16:24:07 星期一 说道:

    在用龙格库塔求解的时候，对于非线性方程
而言得到的是非线性方程组，而求解非线性方程
组一般要用到迭代的解法，又要考虑到收敛的问
题，好像比较麻烦吧！
    用龙格库塔解线性的方程就不用考虑这样的
问题了。
【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 zjliu (Robusting) 的大作中提到: 】
: : 这个微分方程是非线性的，你说的方法好像对线性的
: : 高阶方程有效。
: 
: 没有关系啊。f(x,y,z)没有特别限制。
: 有了x,y,z的数值能算出一个z'就好了。

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 key (也许)                           于 Mon Sep 30 16:54:32 2002) 说道:

【 在 zjliu (Robusting) 的大作中提到: 】
:     在用龙格库塔求解的时候，对于非线性方程
: 而言得到的是非线性方程组，而求解非线性方程
: 组一般要用到迭代的解法，又要考虑到收敛的问
: 题，好像比较麻烦吧！
:     用龙格库塔解线性的方程就不用考虑这样的
: 问题了。
这个本来就是要逐步求解的啊。
麻烦也许算麻烦，不过思想很简单啊。
有个初始y(x0)=y0
下面就y'(x0)=f(x0,y0)
y(x0+dx)=y(x0)+y'(x0,y0)*dx
...
数值求解就是这样啦。simple is best, heheh..
一定要线性的话原始问题也不敢简化成y'=f(x,y)这么普遍了。

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 key (也许)                           于 Mon Sep 30 17:05:45 2002) 说道:

【 在 zjliu (Robusting) 的大作中提到: 】
:     在用龙格库塔求解的时候，对于非线性方程
: 而言得到的是非线性方程组，而求解非线性方程
: 组一般要用到迭代的解法，又要考虑到收敛的问
: 题，好像比较麻烦吧！
:     用龙格库塔解线性的方程就不用考虑这样的
: 问题了。
现在的问题是：高阶微分方程->一阶微分方程组->求解
您是不是和龙老人家解决别的什么问题的方法给弄混了？

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 zjliu (Robusting)                    于 2002年09月30日18:12:14 星期一 说道:

不要这么说，我是不知道则怎么解非线性的类型，
其中有很多解情况存在。还是要谢谢你的解释。
【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 zjliu (Robusting) 的大作中提到: 】
: 现在的问题是：高阶微分方程->一阶微分方程组->求解
: 您是不是和龙老人家解决别的什么问题的方法给弄混了？

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 key (也许)                           于 Tue Oct  1 10:41:16 2002) 说道:

【 在 zjliu (Robusting) 的大作中提到: 】
: 不要这么说，我是不知道则怎么解非线性的类型，
: 其中有很多解情况存在。还是要谢谢你的解释。
呵呵，越听越象把“一阶微分方程里面含有高次项”
和“高次非线性方程”给弄混了。
原来的那个问题化成
y'=z
z'=f(x,y,z)
之后，
就可以由初值
y'(x0)=z0
y(x0)=y0
a. 得到起点（x0,y0,z0)
b. 由坐标(x0,y0,z0)得到该点z'(x0)=f(x0,y0,z0)
  -- 这里一个点（x1,y1,z1)只对应一个结果f(x1,y1,z1),
     虽然不同的x,y,z可能对应相同的z'，即f(x2,y2,z2)=f(x1,y1,z1)
     不过没有关系，就当曲线在这两个点的切线平行（但不是重合）好了。
c. 由z0和z'(x0)求下一个z：z(x0+dx)=z0+f(x0,y0,z0)*dx
   同时得到y'(x0+dx)=z(x0+dx) -- 这个留着计算再下一个点y(x0+2dx)时用
d. y(x0+dx)=y0+z0*dx
e. 起点变成(x0+dx,y(x0+dx),z(x0+dx))，重复a-d
以上是直接用微分相当差分近似的欧拉方法，计算精度不高。
龙格库塔则多用了前后几点，考虑了微分的变化进行补偿修正，
两者的想法都没有f(x,y,z)的形式限制。
如果说非线性的话，龙格库塔反倒正是加入了函数不是直线的考虑。


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 han (擦网高手)                       于 2002年10月09日11:48:18 星期三 说道:

好多天没来了，谢谢两位的讨论。原先的想法是先进行离散，得到一个关于求解变量的
相邻点的矩阵，但是发现如果方程里含有代求解变量的高次项，这个矩阵就不可以用
三角法、追赶法求解了，正象key所说的。刚开始就用差分方法离散，运用runge或则
eulor等方法也许可以求解，速度问题也许是个大问题。
【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 zjliu (Robusting) 的大作中提到: 】
: : 不要这么说，我是不知道则怎么解非线性的类型，
: : 其中有很多解情况存在。还是要谢谢你的解释。
: 呵呵，越听越象把“一阶微分方程里面含有高次项”
: 和“高次非线性方程”给弄混了。
: 原来的那个问题化成
: y'=z
: z'=f(x,y,z)
: 之后，
: 就可以由初值
: y'(x0)=z0

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 han (擦网高手)                       于 2002年10月09日11:49:42 星期三 说道:

运用上述两个方法求解，对f(x,y)没有特殊的要求，只要出现待求解变量，都可以以离
散的形式得到差分方程。
【 在 han (擦网高手) 的大作中提到: 】
: 好多天没来了，谢谢两位的讨论。原先的想法是先进行离散，得到一个关于求解变量的
: 相邻点的矩阵，但是发现如果方程里含有代求解变量的高次项，这个矩阵就不可以用
: 三角法、追赶法求解了，正象key所说的。刚开始就用差分方法离散，运用runge或则
: eulor等方法也许可以求解，速度问题也许是个大问题。
: 【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: : 呵呵，越听越象把“一阶微分方程里面含有高次项”
: : 和“高次非线性方程”给弄混了。
: : 原来的那个问题化成

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 han (擦网高手)                       于 2002年10月09日11:51:14 星期三 说道:

还有一个问题，如果我不知道初始条件，对边界条件怎么处理？尤其是右边界。
刚开始循环的时候，一般需要两个点，缺少一个可以随便补上吗？会不会造成发散？
【 在 han (擦网高手) 的大作中提到: 】
: 好多天没来了，谢谢两位的讨论。原先的想法是先进行离散，得到一个关于求解变量的
: 相邻点的矩阵，但是发现如果方程里含有代求解变量的高次项，这个矩阵就不可以用
: 三角法、追赶法求解了，正象key所说的。刚开始就用差分方法离散，运用runge或则
: eulor等方法也许可以求解，速度问题也许是个大问题。
: 【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: : 呵呵，越听越象把“一阶微分方程里面含有高次项”
: : 和“高次非线性方程”给弄混了。
: : 原来的那个问题化成

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 key (也许)                           于 Wed Oct  9 14:38:14 2002) 说道:

【 在 han (擦网高手) 的大作中提到: 】
: 还有一个问题，如果我不知道初始条件，对边界条件怎么处理？尤其是右边界。
: 刚开始循环的时候，一般需要两个点，缺少一个可以随便补上吗？会不会造成发散?..
随便补上一个初始条件和结果发散没有必然联系。
不过初始条件决定了整个的解。
你随便补一个虽然能够得到一个解（一组数据y(x)），不过这有什么用呢？

好像你向前面抛出一把沙子，就当距离你脱手10cm处为初始状态好了。
你知道的是空间任意位置的运动趋势函数。
指定一颗沙粒的话，你可以由它的初始位置算出它下一步会到哪里，
再由下一个位置继续计算并重复，就可以得到这个沙粒的整个轨迹。
现在有人要你算个轨迹但不告诉你是哪个沙粒的，
你会不会要先问他一句：“你到底要干嘛？”
呵呵，开个玩笑

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 han (擦网高手)                       于 Thu Oct 10 08:43:57 2002) 说道:

很好的比喻,谢谢了

【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 han (擦网高手) 的大作中提到: 】
: : 还有一个问题，如果我不知道初始条件，对边界条件怎么处理？尤其是右边界。
 ..
: : 刚开始循环的时候，一般需要两个点，缺少一个可以随便补上吗？会不会造成发?..
: 随便补上一个初始条件和结果发散没有必然联系。
: 不过初始条件决定了整个的解。
: 你随便补一个虽然能够得到一个解（一组数据y(x)），不过这有什么用呢？
: 
: 好像你向前面抛出一把沙子，就当距离你脱手10cm处为初始状态好了。
: 你知道的是空间任意位置的运动趋势函数。
: 指定一颗沙粒的话，你可以由它的初始位置算出它下一步会到哪里，
: 再由下一个位置继续计算并重复，就可以得到这个沙粒的整个轨迹。
: 现在有人要你算个轨迹但不告诉你是哪个沙粒的，
: 你会不会要先问他一句：“你到底要干嘛？”
: 呵呵，开个玩笑



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