Math 版 (精华区)

发信人: kaola (坚决不灌水的考拉熊), 信区: Math
标  题: [合集]关于一个积分的问题
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年01月13日02:21:34 星期一), 站内信件


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 idea (孜鹤)                          于 Tue Aug 27 12:05:50 2002) 说道:


被积函数是{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
积分变量是r',积分范围是无限空间,
答案是(4*pi/r)*[exp(-B*r)-exp(-A*r)]/(A^2-B^2)
我就是没积对,

而且我觉得A只与r'相关,所以{exp[-A*r']/r'}一旦被积分掉后,
积分结果里不应该含有A*r项的.
请高人指点,哪里有关于这个积分的相关内容

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 key (也许)                           于 Tue Aug 27 20:31:40 2002) 说道:

【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: 
: 被积函数是{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
: 积分变量是r',积分范围是无限空间,
: 答案是(4*pi/r)*[exp(-B*r)-exp(-A*r)]/(A^2-B^2)
: 我就是没积对,
: 
: 而且我觉得A只与r'相关,所以{exp[-A*r']/r'}一旦被积分掉后,
: 积分结果里不应该含有A*r项的.
: 请高人指点,哪里有关于这个积分的相关内容
哪是矢量哪是标量？
r-r'是矢量相减之后的长度么？

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 idea (孜鹤)                          于 Tue Aug 27 22:41:15 2002) 说道:

A, B 是标量
r',r-r'均是矢量的长度 

【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: : 
: : 被积函数是{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
: : 积分变量是r',积分范围是无限空间,
: : 答案是(4*pi/r)*[exp(-B*r)-exp(-A*r)]/(A^2-B^2)
: : 我就是没积对,
: : 
: : 而且我觉得A只与r'相关,所以{exp[-A*r']/r'}一旦被积分掉后,
: : 积分结果里不应该含有A*r项的.
: : 请高人指点,哪里有关于这个积分的相关内容
: 哪是矢量哪是标量？
: r-r'是矢量相减之后的长度么？




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 newlearner (天天)                    于 Wed Aug 28 16:22:20 2002) 说道:

【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: 
: 被积函数是{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
: 积分变量是r',积分范围是无限空间,

 是指4pi空间,还是从负无穷大到无穷大?

: 答案是(4*pi/r)*[exp(-B*r)-exp(-A*r)]/(A^2-B^2)
: 我就是没积对,
: 
: 而且我觉得A只与r'相关,所以{exp[-A*r']/r'}一旦被积分掉后,
: 积分结果里不应该含有A*r项的.
 这一项肯定有的
: 请高人指点,哪里有关于这个积分的相关内容

我想是不是应该把被积函数变成如下形式? 
0.5*{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
       -0.5*{exp[-A*(r-r')]/(r-r')}*{exp[-B*r']/r'}
 ?? 试试看,我也没做



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 Systems (Systems)                    于 2002年08月29日21:15:33 星期四 说道:

关键就是求
    x
  e
------
  x
的积分.
怎么求?
【 在 newlearner (天天) 的大作中提到: 】
: 【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: : 
: : 被积函数是{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
: : 积分变量是r',积分范围是无限空间,
: 
:  是指4pi空间,还是从负无穷大到无穷大?
: 
: : 答案是(4*pi/r)*[exp(-B*r)-exp(-A*r)]/(A^2-B^2)
: : 我就是没积对,
: : 
: : 而且我觉得A只与r'相关,所以{exp[-A*r']/r'}一旦被积分掉后,

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 key (也许)                           于 Fri Aug 30 12:29:37 2002) 说道:

 --%以下变量除了A,B之外大写表示矢量
积分相当于exp[-A*r]/r以及exp[-B*r]/r的空间卷积
f(R)=g_A(R)*g_B(R)
它的空间三维Fourier变换应该是两个函数分别变换的乘积。
F(K)=G_A(K)G_B(K) ........(1)
（因为3D Fourier变换的变换核exp[-iK.R]具有x(R)=x(R-R'）x(R')的性质）
由于各向同性只计算z轴上的G_A(K)
（实际上一开始就可以定义一种变换，积分核是exp[-ikZ.R/z]）
G_A(K)=|exp[-A*r]/r exp[-ikZ.R/z] dR
=|dp|r^2 exp(-Ar)/r|exp[-ikrcos(t)]sin(t)dt dr
=4pi/(A^2+k^2)
同样G_B(K)=4pi/(B^2+k^2)
代入(1)后将两项相乘分母分解成两个分数，整理
F(K)=4pi/(A^2-B^2)[G_B(K)-G_A(K)]
反变换也就是
f(R)=4pi/(A^2-B^2)[g_B(R)-g_A(R)]

【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: 
: 被积函数是{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
: 积分变量是r',积分范围是无限空间,
: 答案是(4*pi/r)*[exp(-B*r)-exp(-A*r)]/(A^2-B^2)
: 我就是没积对,
: 
: 而且我觉得A只与r'相关,所以{exp[-A*r']/r'}一旦被积分掉后,
: 积分结果里不应该含有A*r项的.
: 请高人指点,哪里有关于这个积分的相关内容



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 idea (孜鹤)                          于 Sat Aug 31 10:05:39 2002) 说道:

谢谢,
我得好好看看,这个积分好象比较麻烦是吗.

【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
:  --%以下变量除了A,B之外大写表示矢量
: 积分相当于exp[-A*r]/r以及exp[-B*r]/r的空间卷积
: f(R)=g_A(R)*g_B(R)
: 它的空间三维Fourier变换应该是两个函数分别变换的乘积。
: F(K)=G_A(K)G_B(K) ........(1)
: （因为3D Fourier变换的变换核exp[-iK.R]具有x(R)=x(R-R'）x(R')的性质）
: 由于各向同性只计算z轴上的G_A(K)
: （实际上一开始就可以定义一种变换，积分核是exp[-ikZ.R/z]）
: G_A(K)=|exp[-A*r]/r exp[-ikZ.R/z] dR
: =|dp|r^2 exp(-Ar)/r|exp[-ikrcos(t)]sin(t)dt dr
: =4pi/(A^2+k^2)
: 同样G_B(K)=4pi/(B^2+k^2)
: 代入(1)后将两项相乘分母分解成两个分数，整理
: F(K)=4pi/(A^2-B^2)[G_B(K)-G_A(K)]
: 反变换也就是
: f(R)=4pi/(A^2-B^2)[g_B(R)-g_A(R)]
: 
: 【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: : 
: : 被积函数是{exp[-A*r']/r'}*{exp[-B*(r-r')]/(r-r')}
: : 积分变量是r',积分范围是无限空间,
: : 答案是(4*pi/r)*[exp(-B*r)-exp(-A*r)]/(A^2-B^2)
: : 我就是没积对,
: : 
: : 而且我觉得A只与r'相关,所以{exp[-A*r']/r'}一旦被积分掉后,
: : 积分结果里不应该含有A*r项的.
: : 请高人指点,哪里有关于这个积分的相关内容
: 
: 



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 key (也许)                           于 Sat Aug 31 11:15:28 2002) 说道:

【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: 谢谢,
: 我得好好看看,这个积分好象比较麻烦是吗.

能问一下这个积分的背景么？是什么问题里面遇到的？

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 idea (孜鹤)                          于 Sun Sep  1 04:45:22 2002) 说道:

从你给的解释来看,我还是不太清楚,你能不能给我介绍基本这方面的书,
也就是说什么方面书有这样的积分介绍,非常感谢.

我是在做近红外光在生物组织中的传播扩散问题时遇到这样的积分,如果你也有兴趣的话
我们到是可以互相联合联合.

【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: : 谢谢,
: : 我得好好看看,这个积分好象比较麻烦是吗.
: 
: 能问一下这个积分的背景么？是什么问题里面遇到的？



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 key (也许)                           于 Sun Sep  1 10:26:19 2002) 说道:

【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: 从你给的解释来看,我还是不太清楚,你能不能给我介绍基本这方面的书,
: 也就是说什么方面书有这样的积分介绍,非常感谢.

这里写东西太受局限了，特别是很多数学公式用的符号。
具体哪一步没写清楚呢？
我不知道有什么书介绍这个，用3D Fourier变换只是一种尝试，
当然很可能有更好的方法。

: 
: 我是在做近红外光在生物组织中的传播扩散问题时遇到这样的积分,如果你也有兴趣 ..

: 我们到是可以互相联合联合.

exp(-Ar)/r确实是个点源球面扩散+衰减的形式，
我没有理解的是同一种组织（甚至可以用球面波近似的话，应该是均匀同性吧。）
为什么会有2个距离衰减系数A,B？
当然最简单的理解是对2种不同波长的吸收系数不同，
可是这两种不同波长的东西又是什么背景相乘在一起的呢？
是两种不同物理性质的奇点被激发出来的光的波长不同么？
呵呵，不好意思，只是有点好奇，问的太多又不着边际的话请forgive&skip
btw,你在物理系？（刚说完又问，呵呵）

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 idea (孜鹤)                          于 Mon Sep  2 00:32:28 2002) 说道:

你的理解已经很准确了,我也看到了一种证明方法,确实和你给的方法很相近.
但是我的数学知识好象不太够,有些东西我理解不了.
所以我想找一本具体的书看看.

另外你对我要做的东西猜的也查不多了,真的佩服你了.
是的,如果仅仅是一种波长的点愿辐射的话就只有一项了,我现在要做的是
用一种波长的激发光通过他在组织中的传播来激发另外一种荧光,
这种激发出来的荧光也在组织中传播,传播的形式基本和激发波一致.
所以其形式是相似的.由于我也是刚刚接触这个领域所以很多东西也不太明白,



【 在 key (也许) 的大作中提到: 】
: 【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: : 从你给的解释来看,我还是不太清楚,你能不能给我介绍基本这方面的书,
: : 也就是说什么方面书有这样的积分介绍,非常感谢.
: 
: 这里写东西太受局限了，特别是很多数学公式用的符号。
: 具体哪一步没写清楚呢？
: 我不知道有什么书介绍这个，用3D Fourier变换只是一种尝试，
: 当然很可能有更好的方法。
: 
: : 
: : 我是在做近红外光在生物组织中的传播扩散问题时遇到这样的积分,如果你也有兴 ..

: 
: : 我们到是可以互相联合联合.
: 
: exp(-Ar)/r确实是个点源球面扩散+衰减的形式，
: 我没有理解的是同一种组织（甚至可以用球面波近似的话，应该是均匀同性吧。）
 ..
: 为什么会有2个距离衰减系数A,B？
: 当然最简单的理解是对2种不同波长的吸收系数不同，
: 可是这两种不同波长的东西又是什么背景相乘在一起的呢？
: 是两种不同物理性质的奇点被激发出来的光的波长不同么？
: 呵呵，不好意思，只是有点好奇，问的太多又不着边际的话请forgive&skip
: btw,你在物理系？（刚说完又问，呵呵）



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 key (也许)                           于 Tue Sep  3 12:01:26 2002) 说道:

【 在 idea (孜鹤) 的大作中提到: 】
: 所以我想找一本具体的书看看.
确实不好说这种问题什么书上面会有，其实想法也不是很难理解。
你可以随便找本有讲一维fourier transform的书看看，
能够明白F{g1(t)*g2(t)}=G1(w)G2(w)就好了。
这里面的卷积g(t)=|g1(t')g2(t-t')dt'
G(w)=|(|g1(t')g2(t-t')dt')exp(-iwt)dt
由于积分变换核是个指数形式，可以分解成
exp(-iwt)=exp[-iw(t-t')]exp(-iwt')    (1)
这样就可以将第一项和g2先对t积分，
由于积分限是正负无穷，变量shift一下就直接出来和t'无关的G2(w)
第二项和g1(t')对t'的积分又出来个G1(w)

到三维里面其实只要把握积分变量是个矢量的性质，
别被问题中被积函数exp(r)/r的标量形式迷惑。
因为积分变量是个矢量，为了满足(1)式你需要用的变换核是
exp(-iK.R) K.R是矢量K和矢量R的点乘。
这样就可以利用无穷空间的积分实际上送给你的任意shift原点的权利。

btw,怎么每次上来这么晚啊？不在国内还是工作太辛苦了？呵呵。。

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