Math 版 (精华区)

发信人: llhhxht (绿林好汉--努力学习中), 信区: Math
标  题: [合集]大虾帮欧证明一个弱弱的工程矩阵问题
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年04月12日23:12:55 星期六), 站内信件


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 redsunlight (往事)                   于 2003年04月10日19:52:54 星期四 说道:

  n阶矩阵A的特征值均为0，B=I-A,求证：B相似于B^2....
想了好久不知所以，还望相助，many thanks~~

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 flythunder (似是故人来)              于 2003年04月10日20:32:57 星期四 说道:

啥矩阵这么牛 特征值都是零阿
A=U*G*U'    G是特征值矩阵，所以
A=zeros(n,n)
所以 B=I …………>B^2
对不对？

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 redsunlight (往事)                   于 2003年04月10日20:50:28 星期四 说道:

不对呀。。。比如主对角元均为0的上三角阵，特征值就都为0
而不一定有A=0的，
只能得出A^n=0
///thx

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 flythunder (似是故人来)              于 2003年04月10日21:40:40 星期四 说道:

是我错了，忽略了特征向量不可逆
习惯了，我遇到的都是可逆的

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 xigema (马个)                        于 2003年04月11日09:53:30 星期五 说道:

是否可以从A的Jordan标准型入手

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 redsunlight (往事)                   于 2003年04月11日10:40:23 星期五 说道:

en.后来想出来了
A的特征值全0，只有当r(A)=0的时候，A才可相似对角化于[0],即A=0;
当r(A)>0时，那么，A的λ=0的特征字空间维数小于n,A不能相似对角化
不过可以得出它的Jordan标准型
B=I-A
相应B的特征值都为1，B^2的特征值也为1，
可以推理出r((B-I)^k)=r(A^k)=r((B^2-I)^k)
因此，B与B^2阶数为k的Jordan块个数都相等
它们都相似于同一个Jordan标准型，因而得证B~B^2
//谢谢大家的帮助，有空来[虎踞龙蟠]sbbs作客，敝人id blueocean:>>

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日12:10:59 星期六 说道:

nod,俺有这样一个思路,不知道对不对
 2   -1
B = P (I - V)(I - V) P
where
V = diaf[J1...Jn], and Ji is the Jordan block with the form
     0 1
       0 1
Ji =[    0 1   ]. Sorry, I cannot remember the exact form, please check it
       .....  1
              0
Therefore
I - V = diag[k1...kj]
where
     1 1
       1 1
Ki =[    1 1   ]pi*pi
       .....  1
              1                       j
where pi is the dimension of Ki and sigma(pi) = n
Hence                                i =1
                                                     2      2
(I - V)(I - V) = diag[K1...Kj]diag[K1...Kj] = diag[K1.....Kj  ]
So, if we can prove
       2
Ki = Ki
It will be OK

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