Math 版 (精华区)

发信人: llhhxht (绿林好汉--努力学习中), 信区: Math
标  题: [合集]证明一个二次型的范围
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年04月12日23:13:20 星期六), 站内信件


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 ramjet (史努比狗)                    于 2003年04月11日20:36:52 星期五 说道:

求助证明下面的结论
已知n维正定的对称实数矩阵A,n维向量x,求证：
               2                     2
    λmin(A)|x| < x'A x < λmax(A)|x|
其中λmin(A)和λmax(A)分别表示A的最小和
最大特征值;|x|表示x的模，即向量2范数。
多谢

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日11:16:24 星期六 说道:

Have a try:
Because A is is a symmetric postive definite matrix,
Hence there is a non singluar matrix P
     -1
A = P  V  P
where V = diag {lamda1 lamda2.....lamdan}
Therefore
 T       T  -1         T  -1
x A x = x  P  V P x = x  P diag {lamda1 lamda2...lamdan} P x
         T -1                               T                  2
      < x P  max{lamda} I p x = max{lamda} x x = max{lamda} |x|
where I is the identity matrix
Hence the second inequality is proved, so is the first one.
Over

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日11:21:08 星期六 说道:

不敢保证啊，瞎证的

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 zjliu (秋天的萝卜)                   于 2003年04月12日11:32:05 星期六 说道:

差不多，厉害！

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日11:37:59 星期六 说道:

Another try
Because, for any lamda of A
A x = lamda x
          T
Multiply x from the left on both sides
 T       T                 T             2
x A x = x lamda x = lamda x x = lamda |x|
Therefore, it is proved.
Over

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日11:44:44 星期六 说道:

Because it is true for any lamdai and xi
Suppose A has n distinct eigenvalues
Therefore
  T                  2                 2
x1 A x1 = lamda1 |x1|  < max(lamda) |x1|
  T                  2                 2
x2 A x2 = lamda2 |x2|  < max(lamda) |x2|
........
  T                  2                 2
xn A xn = lamdan |xn|  < max(lamda) |xn|
Therefore, it si proved.

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 ramjet (史努比狗)                    于 2003年04月12日12:34:59 星期六 说道:

这个证法比较不错，都不用矩阵A是实对称的条件。
而且证明简单，我怎么就没想到呢。:-(

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日12:40:48 星期六 说道:

不过这个好象只是对A的特征向量成立的,
如果是任意的x呢?
我想,如果对xi的线性组合也成立,就完全OK了
所以我在后面的帖子说每个正交的特征向量
都满足不等式,所以它们的线性组合也满足,
你看这样证明可以吗?

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 ramjet (史努比狗)                    于 2003年04月12日12:47:10 星期六 说道:

也就是说如果能够说明A的特征向量不是线性相关的就
可以证明对于任意一个同维的向量不等式都成立。
A的实对称的条件可以满足这样的条件吗？

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日12:49:11 星期六 说道:

nodnod啊,A如果是实对称矩阵那么A肯定有
n个线性独立的特征向量吧.那样一切就OK了,呵呵.
你查查书?

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 ramjet (史努比狗)                    于 2003年04月12日13:03:10 星期六 说道:

好像没有这个性质。
如果一个矩阵的特征值互不相同那么对应的特征
向量是线性无关的。而一个对称阵也可能存在
重特征值。

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日13:07:59 星期六 说道:

那就可以从每个不同的特征值所对应的特征向量中
挑选出一个特征向量从而组成一组总共有r(r<n)个
的特征向量,它们肯定是线性无关的,
当然每个特征向量都满足
 T       T
x A x = x lamda x
你看如何?

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 ramjet (史努比狗)                    于 2003年04月12日13:19:18 星期六 说道:

这样就不能保证对于任意个n维向量不等式都成立了。
我觉着还是应该利用上矩阵A实对称的条件，即你给出的
第一种使用正交变换的方法。

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 Systems (Control Nerd)               于 2003年04月12日13:23:49 星期六 说道:

怎么不可以呢?
既然r个n维特征向量是线性无关的,
那么它们就可以组成一组基,来构成
任意的n维 x 向量

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