Math 版 (精华区)

发信人: wanderer (海王星的小鱼), 信区: Math
标  题: Nonliear Science FAQ(8)
发信站: 紫 丁 香 (Mon May 15 21:33:05 2000), 转信


What is sensitive dependence on initial conditions?

Consider a boulder precariously perched on the top of an ideal hill. The

slightest push will cause the boulder to roll down one side of the
hill or the
other: the subsequent behavior depends sensitively on the direction of
the
push--and the push can be arbitrarily small.  Of course, it is of
great
importance to you which direction the boulder will go if you are
standing at
the bottom of the hill on one side or the other!

Sensitive dependence is the equivalent behavior for every initial
condition--
every point in the phase space is effectively perched on the top of a
hill.


More precisely a set S exhibits sensitive dependence if there is an r
such
that for any epsilon > 0 and for each x in S, there is a y such that
|x - y| <
epsilon, and |x_n - y_n| > r for some n > 0. Then there is a fixed
distance r
(say 1), such that no matter how precisely one specifies an initial
state
there are nearby states that eventually get a distance r away.

Note: sensitive dependence does not require exponential growth of
perturbations (positive Lyapunov exponent), but this is typical (see
Q[2.14])
for chaotic systems. Note also that we most definitely do not require
ALL
nearby initial points diverge--generically [2.14] this does not
happen--some
nearby points may converge. (We may modify our hilltop analogy
slightly and
say that every point in phase space acts like a high mountain pass.)
Finally,
the words "initial conditions" are a bit misleading: a typical small
disturbance introduced at any time will grow similarly. Think of
"initial" as
meaning "a time when a disturbance or error is introduced," not
necessarily
time zero.



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找一个爱我的人、懂得照顾我的人，否则只有操心至死

列文充满绝望地看着吉蒂，看着她笑语安然，好像列文根本不存在似的.......

※ 来源:．紫 丁 香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: 202.118.226.50]