Math 版 (精华区)

发信人: wanderer (海王星的小鱼), 信区: Math
标  题: Nonliear Science FAQ(9)
发信站: 紫 丁 香 (Mon May 15 21:33:39 2000), 转信


What are Lyapunov exponents?
(Thanks to Ronnie Mainieri & Fred Klingener for contributing to this
answer)

The hardest thing to get right about Lyapunov exponents is the
spelling of
Lyapunov, which you will variously find as Liapunov, Lyapunof and even

Liapunoff. Of course Lyapunov is really spelled in the Cyrillic
alphabet:
(Lambda)(backwards r)(pi)(Y)(H)(0)(B). Now that there is an ANSI
standard of
transliteration for Cyrillic, we expect all references to converge on
the
version Lyapunov.

Lyapunov was born in Russia in 6 June 1857. He was greatly influenced by

Chebyshev and was a student with Markov. He was also a passionate man:

Lyapunov shot himself the day his wife died. He died 3 Nov. 1918,
three days
later. According to the request on a note he left, Lyapunov was buried
with
his wife. [biographical data from a biography by A. T. Grigorian].

Lyapunov left us with more than just a simple note. He left a collection
 of
papers on the equilibrium shape of rotating liquids, on probability, and
 on
the stability of low-dimensional dynamical systems. It was from his
dissertation that the notion of Lyapunov exponent emerged. Lyapunov
was
interested in showing how to discover if a solution to a dynamical
system is
stable or not for all times. The usual method of studying stability, i.
e.
linear stability, was not good enough, because if you waited long enough
 the
small errors due to linearization would pile up and make the
approximation
approximation
invalid. Lyapunov developed concepts (now called Lyapunov Stability)
to
overcome these difficulties.

Lyapunov exponents measure the rate at which nearby orbits converge or

diverge.ê There are as many Lyapunov exponents as there are
dimensions in the
state space of the system, but the largest is usually the most
important.
Roughly speaking the (maximal) Lyapunov exponent is the time constant,
lambda,
in the expression for the distance between two nearby orbits, exp(lambda
 *
t).ê If lambda is negative, then the orbits converge in time, and the

dynamical system is insensitive to initial conditions.ê However, if
lambda is
positive, then the distance between nearby orbits grows exponentially in
 time,
and the system exhibits sensitive dependence on initial conditions.


There are basically two ways to compute Lyapunov exponents. In one way
one
chooses two nearby points, evolves them in time, measuring the growth
rate of
the distance between them. This is useful when one has a time series,
but has
the disadvantage that the growth rate is really not a local effect as
the
points separate. A better way is to measure the growth rate of tangent
vectors
to a given orbit.

More precisely, consider a map f in an m dimensional phase space, and
its
derivative matrix Df(x). Let v be a tangent vector at the point x.
Then we
define a function
                              1          n
        L(x,v)  =    lim     --- ln |( Df (x)v )|
                   n -> oo    n
Now the Multiplicative Ergodic Theorem of Oseledec states that this
limit
exists for almost all points x and all tangent vectors v. There are at
most m
distinct values of L as we let v range over the tangent space. These are
 the
Lyapunov exponents at x.

For more information on computing the exponents see

        Wolf, A., J. B. Swift, et al. (1985). "Determining Lyapunov Exponents
from a
Time Series." Physica D 16: 285-317.
        Eckmann, J.-P., S. O. Kamphorst, et al. (1986). "Liapunov exponents
from
time series." Phys. Rev. A 34: 4971-4979.



--
找一个爱我的人、懂得照顾我的人，否则只有操心至死

列文充满绝望地看着吉蒂，看着她笑语安然，好像列文根本不存在似的.......

※ 来源:．紫 丁 香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: 202.118.226.50]