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发信人: zhili (北侠), 信区: Math
标  题: 帽　子　的　颜　色
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat Nov 29 04:23:20 1997), 转信

 From: freeboy.bbs@bbs.sjtu.edu.cn (自由男孩儿)
 Date: 17 Jun 1997 08:00:57 GMT

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帽　子　的　颜　色
 
                                  ·万精油·
 
 
   　 　 几 年 前 Ａ Ｃ Ｔ 有 个 叫 川 花 椒 的 给 大 家 出 了 个 趣 味 问 题 ， 引 起
   了 很 多 有 意 思 的 讨 论 。 题 目 本 身 很 有 趣 ， 解 题 的 方 法 也 很 有 代
   表 性 ， 我 们 就 用 它 来 作 这 期 的 讨 论 题 目 。
 
   　 　 川 花 椒 的 题 目 说 ： 有 个 老 头 有 六 顶 帽 子 ， 三 红 ， 两 黄 ， 一 绿 。
   四 个 儿 子 每 人 一 顶 依 年 龄 站 成 一 条 线 ， 哥 哥 可 以 看 见 弟 弟 的 帽
   子 ， 弟 弟 看 不 见 哥 哥 的 帽 子 。 当 然 ， 每 人 都 看 不 见 自 己 的 帽 子 。
   如 果 四 兄 弟 都 很 聪 明 ， 那 么 不 管 老 头 怎 样 安 排 这 四 顶 帽 子 ， 四
   人 中 必 有 一 人 能 推 出 自 己 帽 子 的 颜 色 。 这 里 我 对 原 来 的 题 目
   做 了 一 些 小 改 动 。 川 花 椒 原 来 的 题 目 说 当 哥 哥 们 不 能 根 据 他 们 所
   见 而 推 出 自 己 帽 子 的 颜 色 时 ， 老 四 就 可 以 推 出 自 己 戴 的 是 红
   帽 子 。 但 我 认 为 我 这 种 提 法 本 质 一 样 ， 但 更 简 明 有 趣 。
 
   　 　 许 多 人 考 虑 了 红 黄 绿 的 各 种 组 合 来 证 明 这 个 结 论 。 虽 然 最 后 成
   功 了 ， 但 过 程 烦 琐 无 比 。 事 实 上 我 们 完 全 不 用 考 虑 各 种 组 合 。 老 大
   如 果 看 不 见 红 帽 子 ， 则 可 推 出 自 己 是 红 帽 子 ， 因 为 不 是 红 色 的 帽
   子 只 有 三 顶 。 所 以 如 果 老 大 推 不 出 自 己 帽 子 的 颜 色 ， 则 必 然
   是 因 为 他 看 见 了 红 帽 子 。 老 二 看 不 见 红 帽 子 则 可 推 出 自 己 的 是 红
   帽 子 ， 因 为 老 大 看 见 了 红 帽 子 。 所 以 如 果 老 二 也 推 不 出 自 己 帽 子
   的 颜 色 ， 则 必 然 是 因 为 他 也 看 见 了 红 帽 子 。 同 样 道 理 ， 老 三 如 果
   看 不 见 红 帽 子 ， 则 可 推 出 自 己 是 红 帽 子 。 如 果 老 三 也 推 不 出 自 己
   帽 子 的 颜 色 ， 则 老 四 可 以 肯 定 自 己 的 帽 子 是 红 色 。 简 单 说 起
   来 这 个 问 题 的 解 就 是 一 句 话 ： 哥 哥 不 能 推 出 自 己 帽 子 的 颜 色 ， 说
   明 弟 弟 中 至 少 有 一 顶 红 帽 子 ， 于 是 老 四 得 出 他 自 己 头 上 一 定
   是 红 帽 子 。
 
   　 　 我 们 注 意 到 在 上 面 的 推 论 中 ， 并 没 有 用 到 黄 绿 帽 子 的
   具 体 分 布 。 而 且 哥 哥 的 数 目 也 没 有 什 么 作 用 。 于 是 我 们 可 以 把
   原 来 的 题 目 推 广 为 如 下 题 目
 
   推 广 题 ： 一 个 老 头 有 Ｎ 个 儿 子 ， 2 * ( N - 1 ) 顶 帽 子 ，其 中 N - 1 顶 红 帽
   子 ， N - 1 顶 杂 色 （ 即 非 红 色 ） 帽 子 。 每 人 一 顶 依 次 站 成 一 条 线 ，
   哥 哥 可 以 看 见 弟 弟 的 帽 子 。 那 么 ， 无 论 老 头 如 何 安 排 帽 子 ， 兄
   弟 中 必 有 一 人 能 推 出 自 己 帽 子 的 颜 色 。
 
   　 　 搞 数 学 的 人 的 一 个 比 较 主 要 的 研 究 方 向 就 是 把 别 人 的 结 果 做
   抽 象 推 广 。 就 这 个 题 目 来 说 ， 题 目 推 广 了 ， 证 明 起 来 反 倒 容 易 了 。
   因 为 大 家 立 即 想 到 用 规 纳 法 ， 而 且 也 不 会 被 有 多 少 黄 、 多 少 绿
   之 类 的 问 题 所 困 惑 。
 
   　 　 通 常 情 况 下 ， 推 广 了 的 题 目 比 原 来 的 题 目 要 难 很 多 。 但 也 有 例
   外 的 情 况 ， 上 面 的 题 目 就 是 一 例 。 平 面 射 影 几 何 里 有 些 定 理 放
   到 三 维 空 间 中 反 而 变 得 容 易 了 。 关 健 是 要 抓 住 问 题 的 实 质 ， 把 不
   相 关 的 东 西 去 掉 ， 把 问 题 抽 象 出 来 。 比 如 解 线 性 方 程 时 ， 我 们 发 现
   所 有 的 过 程 都 是 对 系 数 施 行 的 ， 与 那 些 Ｘ 没 有 关 系 ， 于 是 我
   们 把 问 题 抽 象 出 来 ， 只 研 究 系 数 矩 阵 。 这 就 是 我 们 这 期 想 要 讲
   的 主 要 思 想 。 遇 到 问 题 时 ， 先 把 不 相 关 的 东 西 去 掉 。 “ 抽 象 ” 这 个 玩
   意 并 不 象 一 般 人 想 像 的 那 样 使 问 题 变 得 更 难 ， 而 是 使 问 题 变 得 更 简
   单 。 否 则 ， 我 们 就 会 “ 只 见 树 木 ， 不 见 森 林 ” 。
 
   　 　 川 花 椒 的 原 题 刚 出 来 时 出 错 了 ， 说 是 有 六 顶 帽 子 ， 三 红 ， 两 黄
   ， 一 绿 ， 六 个 儿 子 。 当 时 就 有 人 指 出 其 错 误 。 说 是 老 大 只 要 不 是
   弱 智 ， 问 题 就 太 简 单 。 在 川 花 椒 没 有 贴 出 更 正 以 前 我 在 想 ， 光 指 出
   错 误 还 不 够 ， 怎 样 才 能 把 原 题 修 改 一 下 使 其 变 得 比 较 有 意 思 呢
   ？ 于 是 我 想 到 了 另 一 个 版 本 ， 也 就 是 本 期 的 题 目 。
 
   【 本 期 题 目 】
 
   　 　 有 个 老 头 有 六 个 儿 子 ， 六 顶 帽 子 。 帽 子 为 红 ， 黄 ， 绿 三 种 颜
   色 。 其 中 有 种 颜 色 有 三 顶 ， 有 种 颜 色 有 两 顶 ， 还 有 一 种
   颜 色 只 有 一 顶 。 六 个 儿 子 每 人 一 顶 依 次 站 成 一 条 线 。 哥 哥 可 以 看
   见 所 有 弟 弟 的 帽 子 ， 而 弟 弟 不 能 看 见 哥 哥 的 帽 子 。 那 么 当 前 面
   的 哥 哥 们 不 能 根 据 他 们 所 见 而 推 出 自 己 帽 子 的 颜 色 时 ， 老 四 可
   以 推 出 自 己 帽 子 的 颜 色 。 或 者 说 无 论 老 头 怎 样 安 排 帽 子 ， 兄
   弟 中 必 有 一 人 能 推 出 自 己 帽 子 的 颜 色 。
 
   【 上 期 题 目 讨 论 】
 
   　 　 这 次 的 题 目 没 有 什 么 技 术 性 。 解 决 问 题 的 办 法 有 两 种 。 一 种
   是 用 手 做 。 这 需 要 很 大 的 耐 心 。 ６ Ｘ ６ 的 棋 盘 还 可 以 ， 再 大 一
   点 就 不 太 行 了 。 另 一 种 办 法 是 写 一 个 计 算 机 程 序 ， 让 计 算 机 来 帮 忙
   。 因 为 上 次 谈 到 Ｄ Ｅ Ｅ Ｐ 　 Ｂ Ｌ Ｕ Ｅ ， 所 以 想 到 了 这 个 题 目 。
 
   　 　 不 用 计 算 机 我 们 可 以 发 现 ， 对 ６ Ｘ ６ 的 棋 盘 ， 只 需 有 三 个
   皇 后 就 可 以 覆 盖 整 个 棋 盘 （ 见 下 图 ） 。
 
   　 　 对 正 规 国 际 象 棋 棋 盘 ， 也 就 是 ８ Ｘ ８ 的 棋 盘 ， 我 们 需 要 ５ 个
   皇 后 才 可 以 覆 盖 住 整 个 棋 盘 。 有 位 读 者 说 ５ 个 皇 后 的 解 太 多 ， 不 是
   什 么 难 事 。 ４ 个 又 不 够 。 他 找 到 了 一 个 用 ４ 个 皇 后 来 覆 盖 ６ ２ 个 方
   块 的 解 。 也 就 是 说 在 八 八 六 十 四 个 方 块 中 ， 只 有 两 个 方 块 盖 不
   到 。 如 果 他 的 答 案 是 用 手 做 出 来 的 ， 那 还 真 是 不 容 易 。 如 果 用
   计 算 机 程 序 来 找 ， 我 们 会 发 现 用 四 个 皇 后 覆 盖 ６ ２ 块 方 块 的 解 也
   有 好 几 十 个 。 他 的 答 案 见 下 图 。 注 意 到 在 他 的 答 案 中 ａ 或 ｂ 处 再
   加 一 个 皇 后 就 可 以 覆 盖 整 个 棋 盘 ， 所 以 说 ， 他 的 答 案 包 含 了 一 个
   五 个 皇 后 的 正 解 。
 
   　 　 利 用 计 算 机 的 帮 助 ， 我 们 发 现 ， ５ 个 皇 后 不 仅 可 以 覆 盖 住 ８ Ｘ
   ８ 的 棋 盘 ， 而 且 还 可 以 覆 盖 住 ９ Ｘ ９ ， 甚 至 １ ０ Ｘ １ ０ 的 棋 盘 ，
   答 案 见 下 图 。
 
   □□□□□□　　□□□□□□□□　　　□□□□□□□■□□
 
   □□■□□□　　□□□■□□□□　　　□□□□□□□□□□
 
   □□□□□□　　ａ□□□□□□□　　　□■□□□□□□□□
 
   □□□□■□　　□□□□□■□□　　　□□□□□□□□□□
 
   □□□□□□　　□□□□□□□□　　　□□□□□■□□□□
 
   ■□□□□□　　□■□□□□□□　　　□□□□□□□□□□
 
   　　　　　　　　□□□□ｂ□□□　　　□□□□□□□□□■
 
   　６Ｘ６　　　　□□□□□□□■　　　□□□□□□□□□□
 
   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□■□□□□□□
 
   　　　　　　　用４个皇后在８Ｘ８的　　□□□□□□□□□□
 
   　　　　　　　棋盘上盖住６２个方块　　　　　　　　　　　　
 
   　　　　　　　ａ，ｂ为所缺的两块。　　　　１０　Ｘ　１０　
 
 
   　 　 有 些 人 认 为 用 计 算 机 来 帮 助 收 索 是 偷 懒 ， 没 有 什 么 技 巧 可
   言 。 但 实 际 上 并 不 完 全 如 此 。 有 时 候 要 找 到 一 个 好 的 收 索 办 法 也
   是 很 要 动 脑 筋 的 （ 我 们 以 后 或 许 会 专 门 用 一 期 来 讨 论 这 个 题 目
   ） 。 用 计 算 机 来 辅 助 解 决 问 题 对 非 数 学 界 的 人 来 说 早 已 是 很 正
   常 的 事 了 。 对 研 究 抽 象 数 学 的 人 来 说 现 在 也 变 得 不 是 那 么 新 鲜
   了 。 我 国 的 著 名 数 学 家 吴 文 俊 就 一 直 在 研 究 几 何 问 题 的 机 器 证
   明 。 现 在 研 究 四 维 空 间 的 几 何 、 拓 朴 的 人 也 常 常 利 用 计 算 机
   做 的 “ 四 维 图 ” 来 帮 助 他 们 进 行 思 考 。 研 究 混 沌 的 人 更 是 常 常 用
   计 算 机 来 模 拟 、 验 证 。 一 些 研 究 微 分 方 程 的 人 ， 也 是 先 用 计
   算 机 做 数 字 解 ， 然 后 再 进 行 理 论 分 析 。 对 一 些 数 学 家 来 说 ，
   计 算 机 已 经 成 了 他 们 研 究 工 作 中 的 不 可 缺 少 的 工 具 。
 
   　 　 皇 后 问 题 的 最 初 版 本 是 我 们 这 个 题 目 的 反 问 题 。 不 是 让 皇 后 尽 多
   的 覆 盖 方 块 ， 而 是 让 她 们 “ 尽 少 ” 的 覆 盖 。 原 来 的 问 题 是 这 样 的 ：
   在 一 个 国 际 象 棋 棋 盘 上 （ ８ Ｘ ８ ） ， 最 多 可 以 放 多 少 个 皇 后 使 她
   们 互 相 不 能 攻 击 。 我 想 ， 凡 是 计 算 机 专 业 的 人 大 概 都 已 经 做 过 这
   个 题 目 了 。 没 有 做 过 但 有 兴 趣 的 读 者 不 妨 试 一 试 用 手 做 ， 很
   有 意 思 。
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                         *                         *
                         *  生命诚可贵,爱情价更高. *
                         *  若为自由故,两者皆可抛. *
                         *                         *
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