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发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Math
标  题: 第三章 科学的数学化
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu May 15 08:49:03 2003) , 转信

第三章 科学的数学化


　　在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。

　　——康德

　　科学中的数学定律是真理，体现在上帝对宇宙的设计之中，如果这个信念还须加强，

那么它已由艾萨克·牛顿爵士极好地完成。牛顿是剑桥大学的数学教授，被称为最伟大的

数学家之一，他还被誉为一个物理学家。他的工作提供了一整套新的科学方法，开创了科

学的一个新纪元，并因之加强和深化了数学的作用。

　　哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、帕斯卡都证明了自然界的一些现象与数学定律相

吻合。他们深信上帝不仅创造了世界，而且其创造与人的数学思维相一致。统治17世纪的

哲学或科学方法论由笛卡尔系统地阐述和发展，笛卡尔甚至认为全部物理学都可以归结为

几何学。几何学这个词被他和其他人常常用作数学的同义词。笛卡尔的方法论被大多数牛

顿时代以前的人所采纳，尤其是惠更斯，后者认为，科学具有另外一种附加的功能，即提

供一个自然现象的物理解释。

　　希腊人，尤其是亚里士多德，也用物理学术语来解释自然现象的行为。他们的主要理

论是，所有的物质是由四种元素：土、气、火和水组成，它们具有一种或多种性质，重性

、浮性、干性和湿性。这些性质可解释物体的表现：火向上燃烧是因为火轻，而土质的物

质向下落是因为它具有重量。对于这些性质，中世纪的学者们还增加了其他许多性质，如

共振和不相容。共振解释了一个物体相对于另一个物体，如铁对磁石的吸引。不相容则解

释了一个物体被另一物体所排斥。

　　另一方面，笛卡尔却摈弃了所有这些性质，坚持认为所有物理现象都能由物质和运动

来解释。物质的这些基本属性具有广延性，并且可以度量，因此可以归结为数学。再进一

步，由于没有物质，也就没有广延性，因此真空是不可能的。空间充满着物质，并且物质

只可能由于直接接触而相互作用。然而，物质是由大小、形状和其他特征各异的不可见颗

粒所构成的，正是因为这些颗粒小得不可见，所以有必要对它们的行为作一些假设，以解

释人们可以观察得到的大的现象。依据这个观点，空间充满了微粒，它们可以推动更大的

物体，如行星绕太阳旋转。这也就是笛卡尔的漩涡理论的精髓所在。

　　笛卡尔是机械唯物主义的奠基人。法国哲学家，基督教士伽桑狄(Pierre Gassendi)，

英国哲学家霍布斯(Thomas Hobbes)和荷兰数学家与物理学家惠更斯(Christian Huygens)

继承了他的学说。惠更斯在他的《光论》（1690年）一书中，假设空气中充满能传递光的

运动的以太微粒，从而解释了光的各种现象。事实上这本书的副标题就是：对反射和折射

发生原因的解释。在绪论中，惠更斯认为，在真正的哲学中，“人们构想所有自然界作用

的原因是机械运动，因此，依我的观点，我们或者是搞清楚所有的物理现象，或者是放弃

这一希望。”但另一方面伽桑迪却坚信，原子是在真空中运动。

　　物理学有关微粒作用的假设确实，至少在大体上，解释了自然界的总体行为。但这些

都是心智的创作，而且笛卡尔和他的追随者们的物理学假设是定性的，因此也就仅能解释

而已，而不能精确地预言观察和实验中所出现的现象。莱布尼茨称这种物理学假设为一个

美丽的神话。

　　一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学必须寻求数学描

述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对实验的归纳而得出。根据这种哲

学，同时受他的老师巴罗的影响，牛顿改变了科学研究的程序。他采用数学前提来取代物

理学假设，从而使预言具有培根所倡导的确定性，而这些前提是由实验和观察得来的。


　　伽利略先于牛顿探讨了物体的下落和抛物体的飞行，牛顿却解答了一个更为深广的问

题，一个1650年左右在科学家们脑海中占据最主要地位的问题：能否在伽利略的地上物体

运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？所有运动现象都应遵循一套定律，

这种想法似乎有点过于自信和不凡，但确实在17世纪严谨的数学家们的头脑中很自然地产

生了。上帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都遵循一个总的规划，上帝极可能

用一套基本原理来支配相联的事物。对于17世纪致力于揭示上帝的自然设计的数学家和科

学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去寻求控制各种地面物体运动和天体运动的统一规

律。

　　在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中，牛顿对代数、几何、尤其是微积分（见

第六章）做出了许多贡献，而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作。事实上，牛顿认

为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。他致力于寻找能导出一个统一地

上物体运动和天体运动的定律的科学原理，幸运的是，正如狄德罗所说的，自然界把秘密

告诉了牛顿。

　　牛顿当然熟悉由伽利略建立起来的定律，但这些还不够。由运动学第一定律可以很清

楚地知道，行星受一个被吸往太阳的力，如果没有这个力，每一颗行星将作直线运动。总

是有一个力将行星拉向太阳的想法许多人都有过。哥白尼、开普勒、著名实验物理学家胡

克、物理学家和著名建筑学家雷恩(ChristopherWren)、天文学家哈雷(Edmund Halley)以

及其他一些人，甚至在牛顿之前就开始了探索的工作。而且有人推想，这种力对一个较远

星球的作用必定比对较近星球的要弱，而且随着太阳与星球的距离的增大，力成平方反比

减小。然而在牛顿的工作以前，这些有关引力的想法都没有推进到能超过观测结果。

　　牛顿吸收了他的同时代人所作出的推想，即在任何两个质量为m和M，相距为r的物体之

间的引力F，可由以下公式

　

给出。在这个公式中，G是常量，即无论m、M和r为何值，它都不变。这个常量的值取决于

所用的质量、力及距离的单位。牛顿还将伽利略的地上物体运动定律进行普遍推广，这些

推广现在称之为牛顿运动三定律。其中第一定律已由笛卡尔和伽利略所导出：如果一个物

体不受力，它将保持静止或做匀速直线运动；第二定律说：如果一个力作用在一个质量为

m的物体上，那么它将给此物体一个加速度，准确一点说，这个力等于质量与加速度的乘积

，用公式表示即F＝ma；第三定律则认为：如果物体A给B一个作用力F，那么B给A一个大小

相等、方向相反的作用力F。由这三个定律及万有引力定律，牛顿可以很容易地推断地球上

所有物体的运动规律。

　　就天体运动来说，牛顿真正的成就在于他证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开

普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。在牛顿以前关于行星

运动定律的研究工作，曾被认为与地面物体运动无关，现在的结果则表明行星运动遵循与

地面物体运动同样的规律。从这种意义上说，牛顿解释了行星运动规律。此外，由于从万

有引力定律所推导出来的开普勒定律与观测结果十分吻合，也为万有引力定律的正确性提

供了强有力的证据。

　　用运动定律和万有引力定律所推导出来的这些结果只是牛顿所完成的工作的一小部分

。他应用万有引力定律解释了以前一直难以解释的海洋潮汐现象，对大范围的水域来说，

引力主要来自于月亮，其次是太阳。由收集到的太阴潮，即由月球所引起的潮的高度的数

据，牛顿算出了月球的质量。牛顿与惠更斯计算了地球沿着赤道的隆起度，牛顿还与其他

人一起说明了彗星的轨道与万有引力定律保持一致，因此可以认为彗星也是我们太阳系的

一个合法成员，而不是什么突发事件或上帝派出来泄怒降灾的天外来客。牛顿接着说明了

月亮和太阳对地球赤道隆起带的吸引力使地球的自转轴形成一个周期大于26000年的锥，其

不总指向天空中的同一颗星。地轴轴向的这种周期性变化使每年的春分和秋分都发生些微

的变化，这一事实喜帕恰斯早在1800多年前就观察到了，这样牛顿就解释了岁差。

　　最后，牛顿用近似的方法，解决了许多有关月球运动的问题。例如，月球运动所在平

面略微向地球运动平面倾斜，牛顿能够说明太阳、地球、月球三者之间的相互吸引而引起

的这种现象遵循万有引力定律。牛顿和他的直接继承者们推导出了如此浩繁而又杰出的有

关恒星、彗星、月球、海洋运动的结果，以至于他的成就在接下来的两百年里被誉为“世

界体系的阐述”。

　　在所有这些工作中，牛顿采纳伽利略的提议去寻求数学描述而不是物理解释。牛顿不

仅将开普勒、伽利略、惠更斯的大量实验和理论性成果融汇起来，而且将数学描述和推导

置于所有科学描述和预言之前。在他巧妙地命名为《自然哲学的数学原理》（1687年）一

书的序言中，他写道：

　　古人（如帕普斯所告诉我们的）认为在研究自然事物时，力学最为重要，而今人们则

舍弃其实体化的形式和深藏的实质，而力图以数学定律说明自然现象。我在本书中致力于

用数学来探讨有关的哲学问题。……因此我把这部著作称为哲学的数学原理，因为哲学的

全部任务就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些力去推证其他现象。本

书第一、第二编中的一些普遍命题就是为了这个目的而提出来的。……然后根据其他同样

是数学上论证过的命题，从这些力中推演了行星、彗星、月球和海潮的运动。

　　很明显，数学在这里起了主要作用。

　　牛顿有充分的理由强调定量的数学定律来反对物理学解释，因为在他的天体力学中，

核心概念是万有引力，而万有引力的作用根本不能用物理学术语解释。不管两个物体相距

多么遥远，它们仍然相互吸引，这种万有引力的概念简直和亚里士多德派及中世纪的学者

们为了解释科学现象而发明“质”的概念一样令人难以置信。这种概念尤其不能为牛顿的

同时代人所接受，他们坚持力学的解释并且认为力只有在一个物体“推”另一物体时才有

可能发生。这种放弃物理机制而采取数学描述的方法震撼了甚至是最伟大的科学家。惠更

斯认为万有引力的想法是荒谬的，因为这种超空间的作用不属于任何一种机械运动。他对

牛顿没有根据而不厌其烦地只用万有引力的数学原理作那么多繁琐的计算感到吃惊。其他

许多人，包括莱布尼茨，也反对万有引力的纯数学解释。莱布尼茨自1690年读完了牛顿的

《原理》后就开始抨击它直至逝世。伏尔泰(Voltaire)1727年在出席了牛顿的葬礼后，调

侃牛顿把一个真空留在了伦敦，又在法国找到了一个实空(Plenum)，在那儿，笛卡尔的哲

学仍然盛行。为解释“超距作用”而作的努力一直持续到1900年。

　　即使完全没有物理学解释，而仅仅依靠数学描述，牛顿也使得他那无与伦比的贡献成

为可能。作为对物理学解释的替代，牛顿确实有一个有关重力作用定量的公式，这个公式

既重要又实用，因此，在他的《原理》开篇中，牛顿说：“我在此只为这些力提供一个数

学的概念，并没有考虑他们的物理因果。”在书末他又重复了这种思想：

　　但是我们的目的，是要从现象中寻出这个力的数量和性质，并且把我们在简单情形下

发现的东西作为原理，通过数学方法，我们可以估计这些原理在较为复杂情形下的效果。

……我们说通过数学方法（着重号为牛顿所加），是为了避免关于这个力的本性或质的一

切问题，这个质是我们用任何假设也确定不出来的。

　　在他1692年2月25日写给牧师本特利博士的信中，牛顿这样写道：

　　至于引力是物质所内在的，固有的和根本的，因而一个物体可以穿过真空超距地作用

于另一个物体，毋须有任何一种东西的中间干预，用以把它们的作用和力从一个物体传递

到另一个物体，这种说法对我来说，尤其荒谬。我相信凡在哲学方面有思考才能的人决不

会陷入这种谬论之中。引力必然是由一个按一定规律行事的主宰所造成的，但是这个主宰

是物质的还是非物质的，我留给读者自己去思考。

　　尽管有牛顿在数学上的成功，但物理机械论的久不出现依然困绕着科学家们，然而他

们想得到这样一种物理机械论的努力一直没有实现。贝克莱(Bishop George Berkeley)在

他的对话《艾西弗伦》（Alciphron，1732年）中阐述了以下观点：

　　（尤弗拉洛简记为尤，艾西弗伦简记为艾）。

　　尤：……我请求您，艾西弗伦，不要被那些术语所迷惑，把力这个字放一边吧，把其

他任何事情从你的思想里去除，然后看你对力有什么明确的见解。

　　艾：力是存在于能发生运动和其他可知后果的物体中的东西。

　　尤：那么力与那些后果是截然分开的吗？

　　艾：是的。

　　尤：那我们现在很高兴不用考虑力的主体和后果，而只须考虑力本身的准确概念了。

艾：我认为事情并非如此简单。

　　尤：看来你我都不能用自己才智范围内的语言构造一个力的概念，因为人的思维和才

能如此相似，那么我们可以设想其他人也不会有比我们更好的想法了。

　　牛顿确实希望引力的本质能为人们探究和知晓，但事与愿违，没有人能解释引力是如

何作用的，这种力的物理真实性从未得以证明，而只是人类能力试图影响这种力的一个科

学幻想。然而，由定量定律得到的数学结论被证明是如此有效，以致于这种方法被认为是

自然科学的一个整体部分。科学所做的就是牺牲物理上的可解释性而得到数学上的可描述

性和可预测性。

　　17世纪的成就常被概括为数学物理学家们构造了一个像机器一样运转的力学世界。当

然，如果力学仅仅是指通过作用在微粒及它们的延展而成的物体上的力，用重性、浮性、

共振和前面所提及的一些概念解释所产生的运动，那么，亚里士多德及中世纪的科学家们

的科学也是力学。然而，17世纪的人，尤其是笛卡尔及其追随者，摈弃了前人用以解释运

动的质量多元性的假设，而将力限定为物质的、明显的：扔出一个物体必须有重量或力。

可以称这种牛顿以前的物理学为物质物理学，数学可以描述它但数学不是根本。

　　牛顿力学和他以前的力学的本质不同不只在于引入了数学来描述物体的状态，数学对

物理学的帮助也不只因为它是一种更方便、更简洁、更清晰、更普遍的语言，而是因为它

提供了最基本的概念。重力只是一个数学符号的名称，同理在牛顿第二运动定律（F＝ma，

力等于质量乘以加速度）中，力可以是使物体产生加速度的任何东西。力本身的性质在物

理上也许是不可知的，因此牛顿谈到而且使用了向心力和离心力的概念，尽管他并不知道

这些力的机制。

　　在牛顿力学中甚至质量的概念也是虚构的。确切而言，质量是物质，而物质却如同塞

缪尔所“证明”的像踢一块石头一样真实。对牛顿来说，质量最基本的性质是惯性，其意

义已在第一运动定律中表述，即若一个物体处于静止且不受力作用时，它将继续保持静止

；若它处于运动状态，则它将作匀速直线运动。为什么是直线而不是曲线呢？伽利略将惯

性运动理解为曲线运动。那么，为什么会是匀速运动呢？如果没有力的作用，物体为什么

总保持静止或做匀速运动？惯性是一个虚构的概念，并非实验事实，质量不可跟所有的力

分开。牛顿运动定律中唯一具有物理真实性的部分是加速度，我们可以观察并度量出物体

加速度的大小。

　　但牛顿终于放弃了物理的解释，他用数学概念及量化了的公式，还有能导致公式的数

学推导重铸了整个17世纪的物理学①。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序，

和一个用一套普遍的，仅用数学表述的物理原理控制的宇宙。这是一个包括了石头下落、

海洋潮汐、行星及其卫星运动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规

划。牛顿这个规划使世人折服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律即数学。牛顿

的《原理》是物理解释的墓志铭。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇

宙，而他成功地发现了它的定律。

　　在18世纪，数学家们，同时也是伟大的科学家们继承了牛顿的想法，拉格朗日的《分

析力学》（1788年）可视作是牛顿数学方法的典范。在这本书中，力学完全数学化地处理

，与物理过程无甚联系。事实上，拉格朗日夸口他不需这些，甚至连几何图形也不需要。

牛顿力学和天文学的方法，也被用于处理物理学一些较新的分支，如流体力学、弹性力学

和电磁学。定量的、数学化的方法构成了科学的本质，真理大多存在于数学之中。

　　17世纪的叛逆者们借助于数学描述进行研究，发现了一个量化了的世界。他们将物理

世界的具体事物转换成数学公式，从而留给后人一个数学的、定量的世界，这就是繁荣至

今的自然的数学化的开始。而当詹姆斯·琼斯爵士(James Jeans)在《神奇世界》（1930年

）中称：“宇宙的伟大建筑师现在看起来似乎是一个纯粹的数学家”时，他至少已落后于

时代两个世纪。

　　虽然如我们所说，单纯依赖于不被物理解释所支持的数学公式，牛顿也颇感不安，但

他不仅竭力提倡他的关于自然哲学（物理学）的数学原理，而且确信其是他所描述的现象

的真正解释。他为何有这种信念呢？原因是，正如他那个时代的所有数学家和科学家一样

，牛顿相信上帝创造的世界与数学原理相吻合。最具说服力的是牛顿在《光学》（1704年

）中，有关上帝作为宇宙框架构造者而存在的一段经典论述：

　　自然哲学的主要任务是不作虚构假说而从现象来讨论问题，并从结果中导出其原因，

直到我们找到第一个原因为止，而这原因一定不是机械的。……在几乎空无一物的地方有

些什么？太阳和行星之间既无稠密物质，它们何以相互吸引？何以自然界不作徒然之事，

而我们在宇宙中看到的一切秩序和美丽又从何而来？出现彗星的目的何在，并且何以行星

都是一样在同心的轨道上运动，是什么在阻止一颗星下落到另一颗的上面？动物的身体怎

么会造得如此巧妙，它们的各个部分各自为了哪些目的而设？没有光学的技巧，是否能造

出眼睛，没有声学知识，是否能造出耳朵？身体的运动怎样依从意志的支配，而动物的本

能又从何而来？……这些事情都是这样井井有条，所以从现象来看，是否好像有一位没有

形体的、活的、最高智慧的、无所不在的上帝，他在无限空间中，像在他的感觉中一样，

仿佛亲切地看到形形色色的事物本身，深刻地理解并全面地领会它们，因为事物就直接呈

现在他的面前？

　　在他的《原理》第三版中，牛顿回答了他自己的问题：

　　太阳、行星和彗星这个最美丽的系统只能开始于一个有智慧、有能力的人的圣旨和支

配。……这个人统治了天下万物，他不仅是世界的灵魂，而且是一切的主宰。

　　牛顿也确信，上帝是一个全能的数学家和物理学家。他在一封1692年12月10日给理查

德·本特利的信中写道：

　　为了形成（宇宙）系统及其全部运动，就得有这样一个原因，它了解并且比较过太阳

、行星和卫星等各天体中的质量以及由此确定的重力，也了解和比较过各个行星与太阳的

距离，各个卫星与土星、木星和地球的距离，以及这些行星和卫星围绕这些中心体中所含

的质量运转的速度。要在差别如此巨大的天体之间比较和协调所有这一切，可见那个原因

决不是盲目的和偶然的，而是非常精通力学和几何学的。

　　科学将揭开上帝辉煌设计的秘密，牛顿在给本特利的同一信中开头如此表达自己的观

点：“在我撰写关于我们系统（译注：指太阳系）的著作（译注：指《原理》）时，我曾

着眼于这样一些原理，用这些原理也许能使深思熟虑的人们相信上帝的存在；而当我看到

它对这个目的有用时，可以说没有别的什么东西能使我更加高兴的了。”牛顿还有许多类

似这样的信件。

　　牛顿对宗教的兴趣是他进行数学和科学研究的真正动力。他相信基督教的教义就是上

帝的启示，上帝是所有自然力和万事万物存在与发生的原因，神的意志、引导、控制无所

不在。从他青年时代开始，牛顿就做过严格的有关宗教方面的研究和解释工作，他的后半

生也全部献给了神学。在他的著作《对丹尼尔的预言和圣约翰的启示录的观察》（1733年

）和《古代王国编年史修订本》残存的数百页手稿中，他试图确定《圣经》事件年表。虽

然科学研究本身就是要从神秘和超自然中解放出来，但牛顿认为科学也是崇拜上帝的一种

形式。牛顿为自己的工作揭示了无所不在的上帝之秘密而倍感欣慰。他重视加强宗教的基

础远胜过重视数学和科学成就，因为后者只不过是展示了上帝对宇宙的设计而已。他经常

为自己那艰难有时甚至是枯燥的工作辩护，因为这些工作通过提供上帝安排宇宙秩序的证

据支持了宗教，他就像拜读《圣经》一样虔诚地工作。上帝的智慧可以通过展示宇宙的结

构而被证明，上帝也是天下万事发生的原因，奇迹只是上帝常规活动之外的即兴创作。上

帝偶尔也必须修正一些小纰漏，正如钟表匠修理钟表那样。

　　上帝设计了宇宙，数学和科学的作用是揭示这些设计，如果这一信念还须加强，那么

这一工作已由莱布尼茨(Gottfried Wil-helm Leibniz)来担当。像笛卡尔一样，莱布尼茨

主要是个哲学家，他多才多艺，对数学、科学、历史、逻辑学、法律，外交和神学的贡献

都是首屈一指的。同牛顿一样，莱布尼茨视科学为一种宗教使命，科学家们有义务去肩负

之。在1699年或1700年的一封没署名日期的信中他写道：“在我看来，整个人类的首要追

求目标应该是理解和发展上帝所创造的奇迹，这也是上帝赐给人类地球这个帝国的原因。

”

　　在《神正论》（1710年）中，莱布尼茨肯定了到那时为止这样一些类似的想法，即上

帝是位伟大的智者，正是她创造了这个精心设计的世界。莱布尼茨对现实世界和数学世界

的和谐，以及对数学在现实世界适用性的最终辩护是，上帝与世界是统一的，因为上帝已

精心计算在先，所以世界就是如此，数学与自然之间，有一种先天的默契。宇宙是尽善尽

美的，是所有可能有的世界中最美好的世界，而且是理性的思维揭示了它的规律。

　　真正的知识在我们头脑中是与生俱来的，尽管不是如柏拉图所说，是先验存在的。感

觉永远不能教给我们诸如上帝存在，或所有直角都相等之类最起码的真理。因此，数学的

公理是先天存在的真理，正如它是力学和光学等推理科学中的基本原理一样。“为了确定

被感知的事物，感觉不可或缺，同样，为了确定事实，实验不可或缺。……但证明的力量

在于理性的概念和真理，只有它们能使我们识别什么是必需的。……”

　　莱布尼茨的数学和科学工作广泛而有价值，我们以后还将详述。但有点像笛卡尔，他

的贡献是技术性的。他在微积分及微分方程创立之初所做的工作，还有他对某些新出现的

概念——如我们今天称之为动能——的重要性的确认，都是第一流的。但莱布尼茨没有贡

献任何新的关于自然的根本性法则，倒是他的以数学为基础的科学哲学认为，在激励人们

寻求真理时，数学最为重要。

　　18世纪的人们极大地发展了数学和数学科学，使有知识的人确信，数学和科学中的数

学定律是真理，但他们的工作大部分是前人工作的延伸。贝努利家族，尤其是詹姆斯·贝

努利(JamesBernoulli)、其弟约翰·贝努利(John Bernoulli)及约翰之子丹尼尔·贝努利

(Daniel Beroulli)，还有欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯及其他许多人继续对自然

进行数学探索，他们都对微积分的技巧有所发展，并创建了一些全新的数学分支，如常微

分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数。这些学科本身不仅被作

为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力的工具。正如欧拉1741年所言：“数学

的用处，通常认为是其基础部分，但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上

，科学越向纵深发展，数学的作用就越显著。”

　　数学研究的目的在于获得更多的自然规律，更深刻地了解自然的设计。为了继续牛顿

描述和预言天体运动的工作，人们在天文学上所做的努力最多。牛顿的主要理论，即行星

的轨迹是椭圆，只当天空中仅有太阳和一颗行星时才正确，他对此也很清楚。但在牛顿时

代和几乎整个18世纪，人们已得知有6颗行星，每一颗相互吸引而所有的行星又被太阳吸引

。更进一步，一些行星，如地球、木星、土星均有卫星，因此椭圆形轨道会受到干扰。那

么，真正的轨道又是什么呢？所有18世纪的伟大数学家们都在考虑这个问题。

　　问题的关键在于三个物体之间相互有引力作用。如果能够设计某种方法以测定第三个

物体的干扰作用，那么这种方法也同样适用于第四个物体，并可依此类推下去。然而，即

使到了今天，就算是三个物体运动的一般问题也还没有确切的解答，不过，人们已经设计

出近似程度越来越好的方法。

　　即便是采用了近似的方法，18世纪的成就仍然是令人瞩目的。克莱洛(Alexis-Claude

Clairaut)对哈雷彗星回归的预言证明了数学工作在天文学上的精确性，这是最富有戏剧性

的论据之一。有好几个人都曾观测过这颗彗星，哈雷在1682年曾试图测定出它的轨道，他

预言说这颗彗星将于1758年返回。1758年11月14日，在巴黎科学院的一次会议上，克莱洛

宣布哈雷彗星将于1759年4月中旬返回到它的近日点，可能的误差是30天。这颗彗星比预料

的早到了一个月，一个月的误差似乎很大，但是人们最多只能在几天中看到，而且这颗彗

星77年才能见到一次。

　　天文学中另一辉煌的成就应归功于拉格朗日和拉普拉斯的工作。人们观测到月球和行

星的运动不很规则，这些不规则的运动可能意味着行星将越来越远离太阳或是移向太阳。

拉格朗日和拉普拉斯证明了，人们所观测到的木星和土星速度的不规则是周期性变化的，

因而它们的运动基本上是稳定的。这个世纪的天文学工作都收录在拉普拉斯恢宏的科学巨

著《天体力学》中，这本书在1799到1825年间共出版了五卷。

　　拉普拉斯实际上将他的全部生命献给了天文学，他将他所涉猎的每一个数学分支都应

用于天文学。众所周知的一个事实是，他在他的著作中经常省略一些困难的数学步骤，并

且说：“易知…… ”这说明他实际上对数学细节并无耐心，而只管应用。他对数学的许多

基本贡献只是他在自然科学的伟大工作中的副产品，而由别人发展起来的。

　　同样为人们所津津乐道且富有戏剧性的是海王星的发现。虽然海王星迟至1846年才发

现，但是这一发现都是建立在18世纪数学工作的基础之上的。 1781年，赫谢耳(William
Herscher)通过一个大功率的新式望远镜发现了天王星，但是天王星的轨迹与人们所预测的

并不相符。于是，布瓦德(Alexis Bourard)提出这样一个假想：还有一颗未知的行星在干

扰着天王星的运动。人们通过观测和计算这颗未知行星可能的大小和轨迹，以试图确定这

颗行星的位置。1845年，亚当斯(John Couch Adams)，剑桥大学的一个26岁的学生，对这

颗假想的行星的质量、位置及轨道做了详细的估算。当得知这一工作时，格林威治皇家天

文台台长，著名的艾利(George Airy)爵士对之不予理睬。但是另外一位年轻的天文学家、

法国的列维利尔(Urhain J.J.Leverrier)也独立地推出了和亚当斯相同的结论，并给德国

天文学家加勒(JohannGalle)寄去了一套如何找到这颗行星的位置的说明。加勒于1846年9

月23日收到了这份资料并于当天晚上发现了海王星，其方位与列维利尔预测的仅差55分。

在预测能够精确到万分之一的情况下，对于使这种惊人的预测成为可能的天文学理论，谁

又会怀疑它的真实性呢？

　　除了天文学以外，光学这门学科甚至在古希腊时代就已经部分数学化了。17世纪早期

显微镜和望远镜的发明极大地激发了人们研究光学的兴趣，并且像古希腊时代一样，17、

18世纪的每一位数学家都致力于这一领域的研究。在17世纪史奈尔和笛卡尔就已经发现了

托勒密求而无获的光折射定律：光通过突然改变的介质时，如从空气到水，会发生什么现

象。罗伊默(OlausRoemer)注意到光速是有限的，而牛顿则发现白光是从红到紫所有颜色的

光的混合物。这两个事实极大地激发了人们对光学的兴趣。牛顿在《光学》（1704年）一

书中大力提倡这门学科并将其归功于显微镜与望远镜的改进。在这里，数学仍然是主要的

工具，而欧拉关于光学的一部三卷著作则是另外一个里程碑。

　　但光的物理本质却一点也不清楚。牛顿认为光是一种微粒的运动，惠更斯则认为光是

波的运动，虽然并不是通常意义的波。而欧拉却是第一个用数学处理光振动并得出光的运

动方程的人。他力主光的波动本质并在这个问题上成为唯一反对牛顿的人。19世纪早期菲

涅尔(Augusfin-JearFresnel)和托马斯·扬(ThomasYoung)的工作都为他的理论作了辩护。

但是光的本质即便在那时也没有变得更清楚些，数学定律依然占据主导地位。现在被人们

普遍接受的光理论、电磁理论，在那时离诞生还有50年之遥。

　　18世纪时，人们还开辟了一些新的研究领域，并且至少取得了部分成功。第一个就是

乐音的数学描述和分析。这一过程颇为冗长，其起源于对一根振动弦，比方说，一根小提

琴弦发出的声音的研究，丹尼尔·贝努利、达兰贝尔、欧拉及拉格朗日，对此均做出了贡

献。但在对其进行数学分析时，他们之间产生了严重分歧，直到19世纪初傅立叶的工作问

世后，这种分歧才得以消除。尽管如此，在18世纪，这方面的研究仍然取得了巨大的进展

。我们现在知道，每个乐音都是基音和泛音组成，泛音的频率，用音乐术语来讲就是音高

，都是基音频率的整数倍，这些已在18世纪大师们的著作中明确指出，在今天的录音及播

放设备，如电话、电唱机、收音机和电视机的设计中都是最基本的知识。

　　还有一个数学物理的分支至少也是起源于18世纪，即对流体（气体或液体）及流体中

物体运动的研究。牛顿考虑过这样的问题：一个物体欲在流体中以最小的阻力前进，应当

取什么样的形状？在丹尼尔·贝努利的奠基性著作《流体动力学》（1738年）中，他顺便

提及，这个理论可用于描述人体动脉和静脉中血液的流动。随后，欧拉的一篇重要文章（

1755年），推导出了可压缩流体的运动方程。他写道：

　　如果我们仍不能透彻领悟有关流体运动的完整知识，那么归结其原因，并非因为我们

对力学或对已知的运动原理认识不足，而是因为（数学）分析本身背弃了我们，因为所有

的流体运动理论已经归结于分析公式的求解了。

　　事实上，流体理论比欧拉想象的要复杂得多，以后的70年，又增加了许多知识。比方

说，欧拉忽视了粘体（水是无粘流体，但油，则有些粘性，因而流得缓慢）。然而，可以

说，欧拉创立了可用于船舶和飞机运动的流体力学。

　　大自然是数学化的，而上帝肯定是世间万事万物的设计者且是最有效的设计者，对这

种观点，如果说18世纪的人还需什么另外的佐证外，他们已在其他的数学发现中找到。海

伦证明了（见第一章）光经过一面镜子的反射，从P点至Q点遵循最短的路线，因为光在此

以匀速运动，所以最短距离即最少时间。

　　17世纪的费马 (Pierre de Fermat)作为数学巨擘之一，在相当有限的事实基础上，证

明了他的最少时间原理。该原理认为，光在从一点到另一点的过程中，总是选择所需时间

最短的路径，显然上帝不仅让光服从数学定律，还让其遵循最短路径。当费马成功地从史

奈尔和笛卡尔先前发现的光的折射定律中得到这一原理时，他愈发相信他的原理的正确性

了。

　　到18世纪初，数学家们对自然界总试图将某些重要量取成极大或极小值这一事实有了

一些很鲜明的实例。惠更斯起初也反对费马的原理，他认为费马原理不能解释光在连续变

化的介质中传播时的现象。但甚至牛顿第一运动定律，即一个运动的，不受任何力干扰的

物体，将作直线（最短路线）运动，也是自然界力图节约的范例。

　　18世纪的人们确信：因为一个完美的世界不能容忍浪费，所以自然的作用应该是花费

最少即能达到目的，于是，一个寻找普遍原理的工作开始了。此种原理的第一个公式由莫

帕图伊斯(Pierre-LouisMoreau de Maupertuis)提出。他主要是一个数学家，曾率领一支

探险队到拉普兰地区（挪威、瑞典、芬兰和前苏联各国靠近北极的地带）丈量沿着子午线

一度的长度。他的测量显示了地球确如牛顿和惠更斯通过理论证明得到的那样，其两极是

扁平的。莫帕图伊斯平息了J·卡西尼(Jean-DominiqueCassini)及其子亚金(Jacques)相反

的论调。莫帕图伊斯因此得了个绰号叫“弄平地球的人”，或者像伏尔泰所说的，他压平

了地球和卡西尼们。

　　1744年，在进行光的理论的研究时，莫帕图依斯在他题为《迄今为止看起来似乎不相

容的自然界不同法则的协调性》的论文中提出其著名的最小作用原理。他从费马的原理出

发，但考虑到当时的一些不同见解，如光在水中的速度是否比在空气中大（笛卡尔和牛顿

的观点），或者比在空气中小（费马的观点），摒弃了最少时间说法而代之以作用的概念

。莫帕图伊斯认为，作用是质量、速度及所经距离乘积的积分（在微积分的意义上），而

自然界的任何改变都是要使作用最小。莫帕图伊斯多少有点糊涂，因为他没有规定乘积是

在什么时间区间上取的，又因为他在光学和某些力学问题的每个应用中对作用赋以不同的

意义。

　　虽然莫帕图伊斯有一些物理实例来支持他的原理，但他提倡这个原理还是出于宗教理

由。物质行为的各种规律应具有上帝创造的完美性，而最小作用原理似乎满足这一准则，

因为这个原理显示出自然界是经济的。莫帕图伊斯宣称他的原理是自然界的普遍规律，是

上帝存在和她富于智慧的第一个科学明证。

　　欧拉，是18世纪最伟大的数学家，在1740年至1744年间，他一直就这个话题与莫帕图

伊斯通信。他赞同后者的观点，即上帝根据某种基本原理建造了宇宙，这种原理的存在即

证明了上帝的能力。他用这样的话来表述他的坚信不疑：“宇宙的结构是最完美的，它是

一位最为睿智的创造者的杰作。所以，如果没有某种极大或极小的法则，那就根本不会发

生任何事情。”

　　欧拉的观点比莫帕图伊斯更进了一步。欧拉认为所有自然现象之所以表现如此，是因

为它们要使某些函数达到极大或极小，因而，基本的物理原理应包括达到极大或极小的函

数。无疑，上帝这位数学家比16、17世纪人们所称颂的更为英明，欧拉的宗教信仰还使他

确信，上帝赋予人类的使命是运用人类自身的才能去理解她的法则，自然之书已经打开展

现在我们面前，但它是用我们一时半会不能理解的语言写成的，只有用毅力、热爱、坚忍

和钻研才能读懂，这种语言便是数学。因为我们的这个世界是最好的，所以其法则也应是

最好的。

　　最小作用原理是由拉格朗日阐明并推广的。作用成为基本能量，从这个基本原理出发

，可以推导出更多的力学问题的解答，这个原理成了变分法（由拉格朗日在欧拉所作初步

工作的基础上创立的一个新的数学分支）这门学科的核心。英国的“牛顿第二”，哈密尔

顿(William R. Hamilton)对这个原理作了更进一步的推广，今天，其是力学中最富内涵的

原理，同时也成为物理学其他分支中类似的原理，称为变分原理的范例。然而我们应知道

，到哈密尔顿时代，莫帕图伊斯和欧拉关于上帝设计宇宙融合了最小作用原理的推断已被

摒弃，一些征兆表明在解释该原理意义时已发生了某种改变。伏尔泰在《阿卡基亚博士的

历史》一书中嘲弄了这种证明上帝存在的论点。然而，18世纪的人们还是坚信这样一个无

所不包的原理只可能意味着世界理所当然地是由上帝设计并与这一原理相吻合的。

　　数学支配一切，18世纪最伟大的智者对此深信不疑。著名的数学家丹尼斯·狄德罗(D

enis Diderot)，编纂《法国大百科全书》的主要参与者，说“世界的真正体系已被确认，

发展和完善了。”显然，自然法则就是数学法则。

　　拉普拉斯还有一段更著名的论述：

　　我们可以把目前的宇宙状态看作是宇宙过去的结果和将来的原因。如果一个有理性的

人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切

资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动。对他来

说，一切都是显然的，过去与未来都将呈现在他眼前。

　　威廉·詹姆斯(William James)在《实用主义》一书中描述了这个时期数学家们的态度

：

　　当最初数学的、逻辑的和自然的统一体，最初的定律被发现时，它们的清晰、美妙和

简洁深深地吸引了人们，使众人相信似乎他们已真正成功地读出了万能之主的真正思想。

上帝的心智发出轰鸣，作为对演绎法的回声，她也陷入对圆锥曲线、平方、方根和比例的

沉思，像欧几里得那样进行几何研究。她为行星运动确立了开普勒定律，她使落体的速度

与时间成比例地增长。她还创造了正弦定律，使光在折射时遵循。……上帝构想出一切物

体的原型，设计出它们的变体，而当我们重新发现了其中任何一个神奇创作时，也就是说

我们理解了她的原始本意。

　　坚信自然是上帝依据数学设计的，甚至在诗中也得到了反映，例如，约瑟福·艾迪生

(Joseph Addison)在他的《赞美诗》中写道：

　　高高苍天，

　　蓝蓝太空，

　　星汉灿烂，

　　正是它们本源使然。

　　太阳东升西落，日复一日，

　　把她有力的圣光，

　　洒向四面八方，

　　这就是万能的主，功德辉煌。

　　……

　　所有的行星都恪守规矩，

　　在它们自己的轨道上旋转，

　　把真理传到每一寸土地上。

　　到了18世纪末，数学已如同一棵根深蒂固的参天大树，扎根于现实之中已有两千年之

深，它威风凛凛的枝条覆盖了所有其他知识体系，无疑，这棵大树将永远生存下去。



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