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发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Math
标  题: 第十五章 自然的权威
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu May 15 08:58:18 2003) , 转信

第十五章 自然的权威


　　我祈祷，
　　我知道，自然永远不会背叛
　　那热爱着她的心……


　　——威廉·华兹华斯

　　数学家们能够从许多对立的方面推出新的结果，因为无法从事物本身判断孰是孰非。

其中，最重要的原因自然是数学的产生和发展以及数学对科学的作用，这是一种传统的、

仍然是最无可非议的原因。人们现在知道数学基础的不确定性以及对于数学逻辑的疑问即

使不能够被解决，也可以通过加强它在自然上的应用来回避，用爱默生（Ralph Waldo Em

erson）的话说，就是让我们“用物质为思维营造基地”。在先验的基础上，我们不能断言

由数学定理产生的结果必定可以直接运用；我们也不能断言，如果将其与合理的物理原理

一同使用时，从这些原理中产生的演绎推理可以导致正确的物理结果。但是，应用可以提

供一个实用的检验标准，对于那些反复推出正确结果的定理，人们使用它们的信心将会逐

步增强。比如说，如果选择公理能在连续的使用中始终得到合理的物理结果，那么对它的

疑虑也就自然消除了。

　　从历史上看，人们求助于应用似乎并不像当今的数学家们那样彻底。概念和公理来自

于对自然界的观察，甚至逻辑的规律现在也被普遍认为是经验的产物。那些引发定理的问

题，甚至是关于证明方法的提示也都来自于自然界。至少到了75年前，由公理推导出的结

果的价值才由物理世界的肯定而得以证实。仅通过数学的应用来判断其正确性而言，当然

谈不上绝对的检验。一个定理也许在n次情况下都是对的，但却会在第（n＋1）次情况下是

错误的。一次差异将使定理不成立。但我们可以修正它以保证使用的正确性，历史上已经

做到了这一点。

　　J·穆勒(John Stuart Mill)提倡数学的经验基础和用经验来检验数学。他承认数学要

比许多物理科学更为普遍，但“证实”数学正确性的则是因为其命题比起其他物理科学的

定理来，已在更大程度上得以检验和肯定。这样一来，人们便开始错误地认为数学定理与

其他科学的假设和定理有质的不同，数学定理被认为是确定的，而物理定理则被认为只是

由经验所证实的。

　　穆勒将其主张建立在哲学的基础上，这是在现代关于数学基础的论战开始前很久的事

。多由于这一原因，许多近代和当代的基础研究工作者们成了实用主义者。正如希尔伯特

所说：“从他们的成果中你可以了解他们。”希尔伯特在1925年又说：“在数学中和在其

他地方一样，每个人都遵守成功这个最高法庭的判决。”

　　莫斯托夫斯基（Andrzej Mostowski）在基础研究中表现得突出而活跃，他赞同希尔伯

特的观点，在1953年波兰举行的一次会议上，他说：

　　这种唯一贯穿始终的观点，倒不如说是一种假设：数的概念——不仅是自然数，也包

括实数——的源泉和最终存在的理由来自于经验和实际运用。他不但与正常人的理解力相

符合，而且与数学的传统相符合。在经典数学领域所需要的集合论的概念中，情形也是这

样。

　　莫斯托夫斯基更进一步说，数学是一门自然科学，其概念和方法均起源于经验，那些

试图建立数学而忽视它在自然科学中的本源、忽视它的运用、甚至忽视它的历史的努力都

注定会失败。

　　也许更令人惊奇的是魏尔这名直觉主义者也赞成通过在自然界中的运用来判断数学的

合理性。魏尔对数学物理做出了大量的贡献，尽管他坚决支持直觉原理，但却不愿因为坚

持这些原理而牺牲有用的结果。在《数学与自然科学的哲学》（1949年）中，他勉强承认

说：

　　启发式论据以及其后爱因斯坦广义相对论中的系统结构，或者海森堡-薛定谔的量子力

学是多么令人信服并接近事实啊！一种真正的数学应该和物理学一样被当作是真实世界的

理论结构的分支，并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的扩展，就如同对待

物理学的一样。

　　毫无疑问，魏尔提倡将数学作为一门科学来对待。数学定理和物理学定理一样也可能

是尝试性的，并无把握。它们也许还须改造，但是，是否与实际相符是检验其合理性的可

靠标准。卡瑞 （HaskellB.Curry）作为一名著名的形式主义者在这方面走得更远，在其《

数学逻辑的基础》（1963年）中，他说道：

　　数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是，我们有必要确保某一理论是相容的或

确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学中，我们并

没要求这样做。在物理学中所有的定理都是假设的，一个定理，只要能够作出有用的预告

我们就采用它。而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。过去，我们常这样对待数学定

理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变更，尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们

所接受的。为什么我们在未来的日子里不能这样做呢？

　　奎因（Willard Van Orman Quine）是一位活跃的逻辑学者，他在企图简化罗素-怀特

海的原理上做了许多无用功。他也欣然满足于物理合理性，至少现在是这样。在一本名为

《现代逻辑的哲学意义》的集子中，有他一篇1958年的文章，他写道：

　　我们将采用看待自然科学的理论部分的方式来看待集合论与整个数学。这些真理或假

设与其说是为纯粹的推理所支持，还不如说是对自然科学中经验数据的组织所做的间接的

、系统的贡献。

　　对形式主义和集合论做了基础性贡献的冯·诺伊曼也致力于采取同样的方法打破现有

僵局。在一篇著名的文章《数学家》（见B·罗伯特的《思维的创造》，1947年）中，他认

为尽管几个基础学派都没能证明经典数学的正确性，但大多数数学家还是照样使用它：


　　当所有的经典数学都产生了既优雅又实用的结果后，尽管仍然不能绝对确保其可靠性

，但它至少已立足于一个像电子的存在那样合理的基础上了。因此，如果你想要接受科学

的话，你最好还是接受数学的经典体系。

　　然而，数学的地位并不比物理学强多少。

　　即使是罗素，他虽然在1901年宣称数学真理、逻辑和物理的大厦是坚不可摧的，但却

在1914年的一篇短文中承认“我们关于自然的几何知识是人为的而非先验的。”这并不是

仅从逻辑中得到的结论，在其《原理》第二版中，他进一步承认：逻辑和数学就像麦克斯

韦电磁理论方程一样可信，“因为人们已看到了某些逻辑结果的真实性。”

　　也许更令人惊奇的是哥德尔在1950年说的一段话：

　　被提出而未证实的“基础”所起的作用相当于在物理理论中解释性假设的功能……。

在数论和其他任何一个建设得很完善的数学理论中，所谓逻辑或集合论公理化基础都是解

释性的，而非基础性的。就好像在物理中公理的实际作用是解释该系统中定理所描述的现

象，而不是为这些定理提供一个真正的基础。

　　这些领袖人物都意识到，试图建立一个可普遍接受的、逻辑上合理的数学体系的努力

已经失败了。数学是一种人类活动，它受制于人类的各种弱点和过失。除了推理上的因素

以外，任何形式上的逻辑的解释只是一种伪数学，一种幻想，甚至是一种神话。

　　其他许多著名的基础工作者们把检验数学合理性的方法作为一种实用的方法，数学的

应用就算不能绝对地，也可稳固地确保数学本身。即使是在需要偶尔修正的地方也一样如

此。正如华兹华斯所说：“我们的思想永远只能建立在自然的坚实基础之上。”

　　面对实用的检验标准，即强调数学在科学中的运用，基础论者似乎已欲放弃自己的原

理和信念。考虑到数学的不合逻辑的发展（第五章至第八章），几个世纪以来的数学家们

怎么会信仰数学呢？他们认为自己已经证明了一些结论，却没有认识到他们的证明是错误

的。但是他们确实知道并无逻辑支持着负数、无理数、复数、代数或微积分，他们依靠的

是应用。

　　求助于科学应用，或者说经验证据是值得注意的。欧几里得派理想地假设，从本身是

真理的公理开始，经过有效的推理即可推导出进一步的真理。而以物理应用为依据则颠倒

了数学的整个概念，如果采用演绎的方法，那么尽管这些公理未必是能得出结论的公理，

但至少公理自身是合理的，但在有用的或能应用的数学意义上来说，真理是不可以倒行的

。

　　实际上，几个基础学派的领袖都已将其信念搁置了至少很长一段时间。比如克罗内克

，作为直觉主义学派的奠基人之一，在代数学上所做的一些有益的工作并未遵循他自己的

准则，因为正如彭加勒所说，克罗内克忘记了自己的哲学。布劳维也是一样，在1907年的

论文中，他提倡其直觉主义哲学，而在随后的十年里，却忽视了直觉主义者的原则而致力

于拓扑学的研究和证明。

　　所有观点最终得到这样一个结论：决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确

的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”，数学和牛顿力学一样是一门

经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以修正。尽管两千年来，数学一

直被看作是一门先验知识，但实际上并非如此，数学不是绝对的、不可变更的。

　　如果我们把数学看作是一门科学，那么充分认识科学是如何运作的就显得尤为重要。

科学通过观察和实验，然后建立一个定理，这个定理可能是关于运动、光、声、热、电、

化合等方面的，这些定理都是人为的，人们通过进一步的观察和实验检验其预言。如果其

预言至少能在实验误差允许范围内得以证实的话，该定理就将保留，但以后也许会被摒弃

，并且定理始终是定理，而不像那些深含于物质世界中的真理那样。我们习惯于对待科学

定理的这种态度，因为我们有许多因为新定理而摒弃旧的科学定理的例子。而人们不接受

用这种态度对待数学的唯一原因就是：正如穆勒指出的那样，基本的算术和欧氏几何已有

效运用了许多个世纪，以致人们错把它当作了真理。但我们现在必须看到数学的任何一个

分支都只提供一个可用的理论。只要它可用一天，我们就须使用它一天，但将来也许会需

要一个更好的理论。数学是人和自然的中介，它是我们自身与外界之间的一座充满险阻、

令人生畏的桥梁。但当我们认识到无论是在现实中，还是在人类的思想中，这座桥的两端

都未牢固地固定时，这是多么地令人悲哀啊！

　　理性对依据其自身方案建立起来的命题具有判断力，尽管理性优先于其所推出的命题

，但它必须借助于实验从自然中抽取精华，这正是产生理论以及通过自然的行为决定理论

地位的时候。

　　下述特征可以区分大部分的数学和物理理论。在科学中，理论曾经有过根本性的变化

，而在数学中，大部分逻辑、数论以及经典分析已运转了许多世纪，它们一直而且仍然适

用。从这个意义上说，数学不同于其他科学。无论这部分数学是否绝对可靠，它们运转得

很不错，我们可以把它们称为准经验的。

　　我们尤其可以从微积分的历史中找到这方面的有利证据。尽管对微积分的逻辑仍有许

多悬而未决的争论，但它仍然不失为一种成功的方法。具有讽刺意味的是，非标准分析（

见第十二章）证实了莱布尼茨的无穷小量理论，但却并未证实所有的微积分的技巧。

　　我们甚至可以将可应用性这一标准运用于选择公理。正如策梅罗自己在其1908年的论

文中指出的那样，“皮亚诺是如何得到他的基本原理的呢？……其实他一点也不能证明这

些原理。显然，他只是通过分析在历史上已成定论的一些推理的方式，通过指出这些原理

在直观上是很明显的，且为科学所需要，就得到这些原理而已。”在为他自己使用选择公

理做解释时，策梅罗列举了这一公理所取得的成绩。在其1908年的论文中，策梅罗引证了

这一公理一直（甚至直到那时）在超穷数理论上、在戴德金的有限数理论上以及在分析的

技巧问题上，发挥了多么巨大的作用。

　　不仅仅是受这样一种需要所驱使，即一定要从几种关于基础的理论中进行选择，各种

学派的领袖人物都力荐将数学在科学上的运用作为可靠性的指导和检验准则。他们都认识

到数学在处理自然现象上的力量与日俱增，即使基础问题被弄清楚了，也不会放弃这种用

途。尽管许多由于各种原因变得俗气虚夸却无甚功劳的数学家已摒弃科学达百年之久，但

最伟大的近代领袖人物，如彭加勒、希尔伯特、冯·诺伊曼和魏尔仍在坚持不懈地寻求物

理应用。

　　不幸的是，今天的许多数学家并未致力于应用（见第十三章），恰恰相反，他们仍不

断地在纯数学中创造新的结论。我们可以从《数学评论》中获悉当前数学研究工作（纯粹

与应用方面）的进展情形。这本杂志扼要地评述新的、或许是重要的数学成果，每期登载

约2,500多条，即每年约30,000条。

　　正确的数学所面临的困境是，究竟哪一种学派的思想是最合理的，甚至就是在同一种

学派内部还有许多错综复杂的方向供数学选择。这种困境本将给纯粹数学家们一个喘息的

机会，使他们在创造新数学前先致力于基础性问题的研究，因为这些新数学可能在逻辑上

站不住脚。但他们却轻率地在未被应用的数学领域中产生了新成果。

　　对此有好几种答案。许多数学家并未重视基础工作，自1900年以来，他们工作的态度

是典型的人类处理许多他们所面临问题的方式。几乎所有的人都在数学大厦的高处筑窝建

巢。当基础工作者在勘查其基础以确保大厦安全时，房客们则在其上安居乐业。当基础工

作者们越掘越深，已完全消失于视野中时，房客们仍未意识到大厦的基础有什么危险，也

不知道大厦即将倒坍。因此他们继续沿袭传统的数学，他们不知道盛行的正统数学正面临

挑战，依旧乐此不疲。

　　另外一些同时代的数学家则意识到了基础中的不确定因素，但他们宁愿采取避而远之

的态度对待那些他们所称的哲学问题（与纯粹的数学问题相对）。他们很难相信基础中，

至少是在他们自己的数学活动中会有什么严重的利害关系，他们宁愿恪守过时的教条。对

这些人来说，潜台词就是：今后的75年，让我们就好像什么事也没发生过那样前进吧。他

们在某种普遍的意义上大谈证明，即使根本没有这种东西。他们撰写和发表文章就好像不

确定性根本不存在一样，对于他们来说，文章发表得越多越好。如果说他们还尊重合理的

基础的话，那也只能是在星期天他们祈祷我主宽恕的时候或者是为了看看他们的对手正在

做什么而停止写新论文的时候。个人的成就是绝对重要的——不管是对还是错。

　　难道就没有权威可以用基础问题仍需解决的理由来限制事态发展吗？杂志的编辑可以

拒收这样的论文。但一般地，编辑与审稿人作为数学家来说，总是立场一致的。因此，有

点严格味道——1900年的严格——的论文都被接受且发表。如果国王不穿衣服，法官们也

不穿衣服，那么裸体就不足为怪了，也不会引起什么羞愧。正如拉普拉斯曾经指出的那样

，人类的理性在追求进步中遇到的困难要比探求自身时少得多。

　　总之，基础的问题被许多深入腹地的科学家们束之高阁。数理逻辑学家倒是致力于基

础问题，但他们却常常被认为是在数学以外的人。

　　我们不能谴责所有那些忽视基础问题的数学家们。有一些人十分关心应用数学，他们

还提倡为其权宜之计寻求历史上的依据，正如我们所看到的那样（见第五、第六章），尽

管缺乏数系及其运算和微积分的逻辑基础，并且为此数学家已激烈论战了一个多世纪，但

他们仍继续使用原有成果并创造了确实是卓有成效的新的结论。但证明却是粗糙的，甚至

根本不存在证明。当发现矛盾时，数学家们就重新检查其推理过程并修正之。经常发生这

样的情况：推理虽已改进，但即使是以19世纪末的标准来看，也仍然是不严格的。如果数

学家们要等到推理达到这一标准的话，他们只会一事无成。正像皮卡所指出的，如果牛顿

和莱布尼茨知道连续函数不一定可微的话，他们就不会创立微积分学了。在过去的日子里

，冒险和谨慎共同取得了重大的进步。

　　哲学家桑塔亚那在《怀疑论和动物式信仰》一书中指出，怀疑对思维至关重要，而动

物式信仰则对行为至关重要。许多数学研究具有极大的重要性，欲使这种重要性长存，研

究工作必须继续进行。动物式信仰正是提供了这样的信念。

　　有一些数学家曾对基础性争论表示关注。鲍莱尔、贝尔及勒贝格明确表述了他们对集

合论公理化方法有效性的怀疑。但他们仍使用之，只是对由其产生的结论的可靠性采取保

留态度。1905年，鲍莱尔说他非常乐于沉浸在有关康托尔超穷数的推导中，因为它们有助

于一些关键的数学研究。但是，鲍莱尔和其他一些人所选择的这条道路绝非是轻松愉快的

。让我们听听现代最深刻、最博学的数学家之一魏尔的话吧：

　　我们从未像现在这样对数学的基础和逻辑无所适从。像现今世界中的每一个人、每一

件事一样，我们也有自己的“危机”，这危机已经存在了近50年（现在是1946年）。外表

上看来，它似乎并未妨碍我们的日常工作，但至少我承认它已在我的数学生涯中起了相当

实际的影响，它将我的兴趣引向那些我认为相对“安全”的领域，并不断地消耗我从事研

究工作的热情和决断力。在人类所有忧虑与认识、苦恼与创造并存的情况下，那些关心他

们所做的工作的意义的数学家也许会和我有同样的经验感受。

　　用应用来检验数学的合理性随即产生一个这样的问题，数学的有效性如何呢？就1800

年以前的数学创造和应用而言，我们已经有机会（见第三章）通过多个例子，说明了数学

在描述和预言自然界时是多么出色。但是，在19世纪数学家们引入了一些概念和理论，无

论他们的动机是多么值得称道，但是这些概念和理论都不是直接从自然中提炼出来的，甚

至看上去有悖于自然。例如，无穷级数、非欧几何、复数、四元数、一些奇异的代数学，

各种大小的无穷集以及其他一些我们从未处理过的创造。在先验的基础上，我们没有理由

认为这些概念和理论可以得以应用，那么我们先让自己相信这种现代数学是有效的，并且

实际上是相当不错的吧。

　　已过去的百年中，最伟大的科学创造是电磁学理论、相对论和量子理论，它们都广泛

地运用了现代数学。我们在这里仅讨论电磁理论，因为我们大家都很熟悉其应用。在19世

纪前半叶，一部分物理学家和数学家对电学和磁学投入了大量研究，但却只有少数几个关

于这两种现象特性的数学定律问世，19世纪60年代，麦克斯韦将这些定律汇集起来并研究

其一致性。他发现，为了满足数学上的一致性，必需增加一个关于位移电流的方程。对于

这一项他所能找到的物理意义是：从一个电源（粗略地说是一根载有电流的导线）出发，

电磁场或电磁波将向空间传播。这种电磁波可以有各种不同的频率，其中包括我们现在可

以通过收音机、电视机接收的频率以及X射线、可见光、红外线和紫外线。这样，麦克斯韦

就通过纯粹的数学上的考虑预言了当时还属未知的大量现象的存在，并且正确地推断出光

是一种电磁现象。

　　电磁波——由此可以追忆到万有引力（见第三章）——中尤为值得注意的是我们对什

么是电磁波并无丝毫的物理认识，只有数学断言它的存在，而且只有数学才使工程师们创

造了收音机和电视机的奇迹。

　　同样的观察也被运用于各种原子与核现象。数学家和理论物理学家谈到场——引力场

，电磁场，电子场等等——就好像它们都是实际的波，可以在空间传播，并有点像水波不

断拍击船舶和堤岸那样发挥着作用。但这些场都是虚构的，我们对其物理本质一无所知，

它们与那些可直接或间接感觉到或是看得见的事物，例如光、声、物体的运动，以及现在

很熟悉的收音机和电视只是隐约地有些关系。贝克莱曾把导数描述为消失的量的鬼魂，现

代物理理论则是物质的鬼魂。但是，通过用数学上的公式表示这些在现实中没有明显对应

物的虚构的场，以及通过推导这些定律的结果，我们可以得到结论，而当我们用物理术语

恰当地解释这些结论时，它们又可以用感性知觉来校验。

　　爱因斯坦于1931年强调了现代科学的虚构特点：

　　按照牛顿的体系，物理实在是由空间、时间、质点和力（质点的相互作用）等概念来

表征的……麦克斯韦之后，他们则认为，物理实在是由连续的场来代表的，它服从偏微分

方程，不能对它做机械论的解释。实在概念的这一变革，是物理学自牛顿以来的一次最深

刻和最富有成效的变革……

　　我刚才所阐述的见解，基础的科学理论原理具有完全的虚构性，决非18、19世纪盛行

的那个观点。而这一见解却逐渐从以下事实中找到根据：在思维中，一边是基本概念和定

律，另一边则是必须与我们的经验相关的结论，这两者之间的距离越拉越大。逻辑结构越

简单，用以支持逻辑结构而在逻辑上独立的概念成分也就越少。

　　现代科学通过对自然现象的合理解释消灭了奇想、妖魔、天使，鬼怪、神秘之力以及

泛灵论，人们为此而称道它。我们还要补充一点：现代科学正逐渐夺走了直觉和肉体上的

满足，这两者都是通过感觉来实现的；它也在逐步消除物质，它采用的是像场和电子这样

的虚构的，理想的概念，对于这些概念，我们仅仅了解其数学定律。经过一长串的数学推

导后，科学与感性知觉之间只存在着那么一点但却至关重要的联系。科学是合理化的虚构

，而正是数学使之合理化。

赫兹(Heinrich Hertz) 这位伟大的物理学家，第一个用实验证实了麦克斯韦关于电磁波能

在空间传播的预言。他为数学的力量所震惊而不能抑制自己的热情，“我们无一例外地感

受到数学公式自身能够独立存在并且极富才智，感受到它们的智慧超过我们，甚至超过那

些发现它的人，从中我们得到的东西比我们开始放进去的多得多。”

　　詹姆斯·琼斯爵士也强调数学在自然研究中的作用。在《神秘的宇宙》中，他认为：

“根本的事实就是，科学为自然所描绘的所有图象以及那些与实际情况一致的图象，都是

数学的图象…… 。”物理概念和机械论被认为构造了数学解释，但似是而非的是，物理辅

助看来只是空想，而数学方程却仍是解释自然现象的唯一可靠保障。

　　在《物理学与哲学》一书中，琼斯重新肯定了这一想法。通过那些感觉可以捕捉的模

型和图象，人的思维是不能理解自然运转的方式的。我们绝不可能懂得事件是什么，但我

们必须用数学的语言来描述事件的模式。物理上的收获总是一大堆数学公式，物质实体的

真正本质永远不为人知。

　　因此，现在看来数学在现代科学中的作用远不只是一种主要工具。用记号和公式将那

些通过实验在物理上观察和建立起来的东西一般化、系统化，然后再从公式中推导出另外

一些信息，而这些信息无论是和观察或实验，还是和其他易于理解的信息都不太接近，这

就是人们所经常描述的数学的作用。但是，对数学作用的这种解释还远远不够，数学是科

学理论的实质。19、20世纪在纯粹的数学结构基础上数学的应用与以前数学家们采用由物

理现象直接提取的概念所做的应用相比，更为有力和不可思议。尽管现代科学的成就——

收音机、电视、飞机、电话、电报、高保真唱机及录音设备，X射线、晶体管、原子能（及

原子弹），在这里我们提及一些大家熟悉的东西——不能仅仅归功于数学，但是数学的作

用比起其他任何实验科学的贡献来说，更为基本，更为重要。

　　在17世纪，培根曾对诸如哥白尼和开普勒的天文理论持怀疑态度，他担心他们受到哲

学或宗教上信仰的影响——例如上帝对简单的偏爱或者是上帝对数学化安排的自然的设计

——而不是出于观察或实验的需要。培根的态度当然是合理的，但现代数学理论已经开始

单独占领了物理科学领域，因为它们的作用是如此有效。当然，接受任何一个学科的数学

理论都需要与观察相一致。

　　因此任何关于数学是否有效的疑问都可以得到肯定的回答，但是数学为什么有效却不

那么容易回答。在古希腊时期及随后的许多个世纪中，数学家们相信有清楚的指示告诉他

们到哪里去寻找黄金——数学是物理世界的真理，逻辑原理也是真理——于是他们抖擞精

神，急切而勤奋地挖掘着。他们的成绩是辉煌的，但我们现在知道他们当作是黄金的东西

并不是黄金，而只是些贵重的金属，这种贵重的金属仍继续在极其精确地描述着自然的运

转。为什么它在确保定量分析上做得如此之好？为什么人们会希望一个独立的、抽象的、

先验的“精确”思想体系对自然界施加影响呢？

　　一种可能的答案是数学概念和公理是基于经验提出的，即使是逻辑定律也被承认是基

于经验提出的。但这样的解释过于简单，用它来解释为什么 50只牛加 50只牛等于 100只

牛大概是足够了。在数和几何领域，经验也许的确提示了正确的公理，所用到的逻辑也只

能从经验中学到。但是人类已在代数、微积分、微分方程及其他领域创造了并未由经验提

示的数学概念和技巧。

　　除了这些非经验数学的例子以外，我们应考虑到数学上的直线由一个无穷多个点的集

合组成。微积分则用了一个由瞬时组成的时间的概念，这些瞬时就好像实数系里的数那样

“汇聚在一起”。导数的概念（见第六章）可以由这样一个物理概念提出：某段无穷小时

间内的速度。但是，当导数表示速度时，它只表示某一瞬间的速度。无穷集的种类当然无

法由经验提出，但它却可运用于数学推理，它对一个令人满意的数学理论的作用就好像物

体对感性知觉一样必要。数学还提供了一些像电磁场这样的概念，对这些概念的物理本质

我们一无所知。

　　此外，尽管逻辑定律和一些物理原理是由经验得到的，在对物理上有重要意义的结论

进行广泛的数学证明过程中，这些定律会反复用到，并且，证明也只能建于这种逻辑之上

。纯粹的数学推理导致诸如海王星存在之类的预言。自然遵守逻辑原理吗？换句话说，有

这么一种逻辑体系（姑且不论它是如何得到的）能够告诉我们自然是如何运转的吗？那些

涉及到成百上千个关于抽象概念的定理和推论的主要理论与现实紧密结合，如同公理与现

实的结合那样。这一事实说明了数学具有一种表示和预言实际现象的令人难以置信的精度

。这一长串的纯推理为什么会产生如此非凡的应用结论呢？这是数学上最奇特的怪事。


　　因此，人们面临着双重奥秘。虽然物理现象可通过物理语言理解，但对那些被证明与

公理本身同样运用的推理，为何数学一样有效呢？而在那些我们对物理现象仅有猜想，并

几乎完全依靠数学来描述这些现象的领域，数学也一样有效呢？这些问题是不容忽视的。

我们的科学技术在很大程度上依靠数学，数学虽然曾在真理的无敌旗帜下作战，但是在这

门科学中是否有某种魔术般的内部力量使之获取胜利呢？

　　这一问题曾被反复提出，著名的有阿尔伯特·爱因斯坦的《相对论侧记》（1921年）

：

　　在这里产生了一个让各个时期的科学家均感困惑的迷题。数学作为独立于经验的人类

思维的产物，为何与物理现实中的客体如此吻合？没有经验依据，而只靠纯粹的思维，人

类就能够发现实际事物的性质吗？……

　　只要数学的命题是涉及实在的，它就不是可靠的；只要它是可靠的，它就不涉及实在

。

　　他继续解释道，数学的公理化使得这种差别清晰化。虽然爱因斯坦知道数学公理与逻

辑原理来源于经验，他仍提出这样一个问题：为什么那些长而复杂的纯推理能产生如此卓

著的应用结论呢？毕竟，这些推理是独立于经验的，而且涉及的概念是由人类头脑所创造

的。

　　一种现代解释起源于康德。康德确信（见第四章）我们不懂得也不可能懂得自然，更

确切地说，我们拥有的是感性知觉。我们的头脑依据天生的关于空间与时间的先定结构（

康德称之为直觉）来支配感知，因此我们依照欧氏几何的定律组织空间感知，因为我们的

头脑需要如此。而正是因为如此，所以空间感知继续遵循欧氏几何定律。当然，康德在坚

持欧氏几何的问题上是不正确的，但他认为人类思维决定自然行为的观点确有部分道理。

思维决定了我们的时空概念，我们在自然中所看到的东西无非是我们的思维事先确定好的

东西。

　　另外一种与康德的观点类似，但进一步扩展了的观点是由爱丁顿所提出的，他是当代

最伟大的物理学家之一。按照他的说法，人类思维决定了自然必须如何去运作：

　　我们发现，科学发展得最快的地方，思维就从自然中重新获得那些原来放进去的东西

。我们在未知的彼岸发现了古怪的足迹。为了解释它的起源，我们设计了一个又一个深奥

的理论，最终我们成功地找到了足迹的来源。哦！原来是我们自己的足迹。

　　近年来，康德有关数学为何有效的解释已由怀特海详尽阐述，甚至布劳维1923年在一

篇论文中也对此表示拥护。关键的思想就是：数学并非一门独立于外部世界现象并运用于

其上的学科。相反地，它是我们用自己的方式构想这些现象的基础。自然世界并不是客观

地呈现在我们面前，它只是建立在人的感觉基础之上的人类的解释或构造，而数学则是组

织人类感觉的主要工具。于是，自然而然地，人们用数学来描述人类已知的外部世界。这

样，为何多数人都接受同样的数学结构则可以用这样一种假设，即人类的思维可能实际运

转起来差不太多来解释。或者解释为以下一种事实：人们出生于某种文化和语言环境中，

这种环境制约着他们接受某种特定的数学系统。欧几里得几何尽管并非是关于空间的最后

定论，但它仍占据了统治地位，这一事实证明了后一种观点。对于日心说也是一样，因为

一开始，它与托勒密理论观察的矛盾并未促使其改进。此外，如果那时托勒密理论能够保

持并提炼，与更近一些的观察相吻合的话，无疑它同样也能非常有效，而只是增加些数学

上的复杂性罢了。

　　上述思想的实质可以这样表述，我们试图从复杂的现象中提炼出某些简单的系统，其

性质能用数学来描述，这种抽象化的力量是形成对自然令人惊异的数学描述的原因。另外

，数学“透镜”允许我们看到什么，我们就只能看到什么。这一思想还在如哲学家威廉·

詹姆斯的《实用主义》中有所表述：“数学和物理科学所取得的所有辉煌成就……来源于

我们不屈不挠地希望将世界熔铸成我们头脑中的更加合理的图象，而不是那种由我们的经

验杂乱无章地扔在那里的场景。”

　　一位近代作家用更加诗一般的语言这样描述：“现实是最富魅力的情人，她对你百依

百顺，但她决不是你停泊的港湾；因为她只是一个影子，她在你的梦里，只是当你自己的

思想照射在自然之上时，她才隐约闪现。”

　　虽然康德解释说我们在自然中看到的东西都由我们的思想事先决定，但它仍未能完全

解释数学为何有效的问题。在康德的时代之后，像电磁理论这样的发展很难说是人的大脑

的奉献还是感觉经过大脑的产物。收音机和电视机本来是不存在的，因为人脑根据某种内

部结构组织感觉，而这种结构则使我们把收音机和电视机作为自然必须如何运作这样的思

维概念的结果来体验。

　　也有数学家认为数学是自主的（第十四章），也就是说，无论其公理是纯推理的产物

还是由经验得到的产物，在其后，数学的整个体系都是独立于经验的。那么以这种观点来

看，数学又是如何能应用于自然界，特别是物理现象的呢？这里有几种答案。一种是，数

学公理使用了未定义的术语，这些术语可以有不同的解释以满足物理情形。举个例子来说

，椭圆非欧几何在通常的意义上适用于直线，而在直线就是大圆的球面，它也适用。

　　彭加勒提出一种典型的解释。他倾向于将数学看作是一门纯推理科学，只推导其公理

里面所包含的东西。于是人们就采用貌似正确的公理，也许再加上感觉的暗示，建立起欧

氏几何和非欧几何。这些几何的公理和理论既不是经验真理，也不是先验真理，它们既非

正确又非错误，正如用极坐标而不用直角坐标一样。彭加勒称这些几何为度量物体的老一

套，或概念的虚假定义。我们选用最方便的那一种几何，然而，他又坚持说我们应该用直

线的通常解释——即拉紧的线或直尺的边缘——来运用欧氏几何，因为这种解释是最简单

的。那么为什么我们还应继续运用那些推论呢？彭加勒的回答是我们通过修正物理定律使

数学变得合适。

　　为了说明彭加勒的论点，让我们看一下测绘员是如何确定距离的。他们先选定一条方

便的基线AB（图15.1），其长度可以通过直尺实测得到。为确定AC间距离，测绘员用置于

A处的望远镜对准C点，然后再转动望远镜直到看到点B，从经纬仪的标度上他可以读出转动

了多少角度（这样就测得了角A的大小）。用同样的办法测得角B，接着，假定从C到A和从

B到A的光线都走直线（拉紧的细绳），由于欧氏几何的公理适用于拉紧的细绳，于是，他

采用欧氏几何或三角学计算AC和BC。但是，测绘的结果也许是错的，为什么呢？从C到A的

光线有可能是按图15.1所示的虚线前进的，在A点的测绘员为接收光线就必须将其望远镜对

准光线的切线方向，这样，望远镜实际指向的方向就是C′的方向了。尽管此时测绘员在望

远镜中看到的是点C。因此，他实际测得的角度是C′AB而不是CAB。那么接着用欧氏几何就

可能导致AC和BC的错误结果。

　

　　光线是如何行进的呢？某些时候其路径确为直线；但有时光线会由于大气的折射效应

变弯。假设测绘员得到的AC和BC的结果是不正确的，即使他没有理由相信光线的路径是曲

线，他也必须按曲线处理。这样，他才能修正在A点和B点角度的测量值，并运用欧氏几何

得到AC和BC的正确值。

　　彭加勒的论点——数学可以为符合物理现实而制造，还有另外一个例子。让我们看看

他是如何解释地球是否自转这个问题的吧。他认为我们应该把地球自转作为一个物理事实

来对待，因为其可以使我们设计一种较为简单的天文学的数学理论。事实上，数学理论的

简单性也是哥白尼和开普勒所能提出的用以支持其日心说，反对老的托勒密理论的唯一论

据。

　　彭加勒的哲学有其可取之处。我们确实试图采用最简单的数学，为使我们的推理符合

物理事实而确有必要时，我们便会变更物理定律。但是，今天数学家和科学家所采用的准

则是整个数学理论和物理理论的简单化，如果我们必须用到非欧几何——正如爱因斯坦在

其相对论理论中所做的那样——来产生最简单的组合理论，我们也就用之。

　　尽管彭加勒解释如何使数学行之有效的观点更为明确，但他也确实在一定程度上对康

德的解释表示赞同。因为他认为自然与数学的和谐是由人类思维所创造的。在《科学的价

值》中，他说：

　　人类理性所揭示的在自然中的和谐是否不依赖于人类理性而存在？毫无疑问，并非如

此。完全独立于精神，却又构想它、理解它、探求它的现实是不存在的。如此客观的世界

，即使存在的话，我们也永远无法深入其中。我们称之为“客观现实”的东西，严格地说

，就是那种为一些思想者所共有，并可能会为所有的人所共有的东西。这种共有的部分，

我们将看到，只可能是数学定律表示的和谐。

　　数学为何有效，还有一种未免有些模糊，也许过于简单的解释。按照这种观点，存在

着一个客观的物理世界，人们不断的努力使数学与之相符。在应用过程中，发现数学有歪

曲真相或明显错误时，我们便修正数学。希尔伯特在第二届国际数学家大会（1900年）上

的演讲中阐述了这一观点：

　　即使当纯思维的创造力进行工作时，外部世界又开始起作用，通过实际现象向我们提

出新的问题，开辟新的数学分支。而当我们试图征服这些新的，属于纯思维王国的知识领

域时，常常会发现过去未曾解决的问题的答案，这同时就极有成效地推进着老的理论。据

我看来，数学家在他们这门科学各分支中所经常感觉到的那种令人惊讶的相似性和协调性

，其根源就在于思维与经验之间这种反复出现的相互作用。

　　关于数学为何有效的解释越简单，重申那些自古希腊时期一直到1850年左右数学家们

所相信的东西就越不可信。一些人仍然相信自然是按数学设计的，他们也许认为许多物理

现象的早期数学理论是不完美的。但他们却强调不断的完善它则不但可包含更多的现象，

而且还可提供与观察更精确的一致性。因此，牛顿力学取代了亚里士多德力学，相对论则

完善了牛顿力学。这一历史是否暗示了确有某种设计存在，而人类正在越来越靠近真理呢

？埃尔密特对数学与科学的和谐性做了如下解释：

　　如果我未被蒙蔽的话，确实存在着一个由数学真理汇集成的世界，就正如存在着一个

物理现实的世界一样，我们只有通过我们的智慧去接近它。这两者均为神的创造，是独立

于我们存在的，它们之间之所以呈现差别是因为我们力不能及，而在一种更为有力的思考

方式下，它们是一体的，是同一种事物。这两者的综合已被部分揭示，这就是在抽象数学

与所有物理分支之间存在着不可思议的一致性。

　　在给可尼斯伯格（LeoKningsberger）的一封信中，埃尔密特又说：“这些分析观点是

脱离于我们存在的，它们构成一个整体，只有一部分对我们坦露，毫无疑问，它与我们通

过感觉所了解的其他事物全体有着神秘的联系。”

　　詹姆斯·琼斯爵士在《神秘的宇宙》中也接受老观点，即“从上帝所创造的产物的内

在证据看来，这位伟大的宇宙建筑师现在似乎是一位纯数学家。”在开始，他认为人类的

数学“还未与基本现实接触”。可到了这本书的末尾，他却变得愈发武断：

　　自然似乎精通纯数学的那一套规则。这是因为，在他们的研究工作中，数学家通过他

们自身的内在意识而没有在任何可以的范围内依靠他们对外部世界的经验来阐述这些规则

……无论如何，自然和我们有意识的数学头脑是以同样的法则运转的，这一点无可争辩。



　　爱丁顿在其晚年也开始坚信自然是用数学设计的，在《基本理论》（1946年）中明确

地断言说，我们的头脑可以从先验知识中建立一门关于自然的纯科学，这门科学是唯一确

定的，任何其他的都会有逻辑上的矛盾。因而从我们的头脑中可以获知光速是有限的，甚

至自然中的常数——例如质子质量与电子质量之比——也可以先验地确定。这种知识独立

于宇宙的实际观察并且比经验知识更为确定。

　　伯克霍夫是美国历史上第一个伟大的数学家，他在1941年毫不迟疑地重复并支持爱丁

顿的论点：

　　……在物理定律的整个体系中，没有什么不能从认识论的考虑出发明确地推出的了，

人们通过自身的思维体系将其感官经验进行解释。如果某一理性生物并不熟悉我们的宇宙

但却熟悉这种思维体系，那么它也能够得到我们通过经验所得到的所有物理知识，……例

如，它可以推知镭的存在及其性质，而不是地球的大小。

在证据看来，这位伟大的宇宙建筑师现在似乎是一位纯数学家。”在开始，他认为人类的

数学“还未与基本现实接触”。可到了这本书的末尾，他却变得愈发武断：

　　自然似乎精通纯数学的那一套规则。这是因为，在他们的研究工作中，数学家通过他

们自身的内在意识而没有在任何可以的范围内依靠他们对外部世界的经验来阐述这些规则

……无论如何，自然和我们有意识的数学头脑是以同样的法则运转的，这一点无可争辩。



　　爱丁顿在其晚年也开始坚信自然是用数学设计的，在《基本理论》（1946年）中明确

地断言说，我们的头脑可以从先验知识中建立一门关于自然的纯科学，这门科学是唯一确

定的，任何其他的都会有逻辑上的矛盾。因而从我们的头脑中可以获知光速是有限的，甚

至自然中的常数——例如质子质量与电子质量之比——也可以先验地确定。这种知识独立

于宇宙的实际观察并且比经验知识更为确定。

　　伯克霍夫是美国历史上第一个伟大的数学家，他在1941年毫不迟疑地重复并支持爱丁

顿的论点：

　　……在物理定律的整个体系中，没有什么不能从认识论的考虑出发明确地推出的了，

人们通过自身的思维体系将其感官经验进行解释。如果某一理性生物并不熟悉我们的宇宙

但却熟悉这种思维体系，那么它也能够得到我们通过经验所得到的所有物理知识，……例

如，它可以推知镭的存在及其性质，而不是地球的大小。

　　爱因斯坦早期也曾表述过一种合理但不十分充分的解释以说明为什么数学与现实符合

：

　　物理学的发展表明，在某一时期，在所有可想象到的构造中，只有一个显得比别的都

要高明得多。凡是真正地研究过这问题的人，都不会否认唯一地决定理论体系的，实际上

是现象世界，尽管在现象同它们的理论原理之间并没有逻辑的桥梁；这就是莱布尼茨非常

中肯地表述的“先定的和谐”。

　　在《我眼中的世界》（1934年）中，爱因斯坦表达了他成熟的观点：

　　迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象得到的最简单的数

学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系

起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提供合适的数学概念，但

是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。当然，经验始终是检验数学结构的实用性

的唯一标准，但是这种创造的原理都存在于数学之中。因此，在肯定的意义上，我当然地

认为，像古人所梦想的纯粹思维能够把握实在。

　　在另一篇文章中，爱因斯坦重新阐述了他的观点，这段关于上帝的话十分著名：“无

论如何，我都坚信上帝不是在扔骰子。”就算上帝这样做了，也正如爱默生曾说过的，“

上帝的骰子总是灌过铅的。”爱因斯坦在这里并未断言我们今天的数学定律都是正确的，

但是其中有些是正确的，并且我们有望越来越接近它们，正如爱因斯坦所说：“上帝难于

捉摸；但并无恶意。”
　　爱因斯坦早期也曾表述过一种合理但不十分充分的解释以说明为什么数学与现实符合

：

　　物理学的发展表明，在某一时期，在所有可想象到的构造中，只有一个显得比别的都

要高明得多。凡是真正地研究过这问题的人，都不会否认唯一地决定理论体系的，实际上

是现象世界，尽管在现象同它们的理论原理之间并没有逻辑的桥梁；这就是莱布尼茨非常

中肯地表述的“先定的和谐”。

　　在《我眼中的世界》（1934年）中，爱因斯坦表达了他成熟的观点：

　　迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象得到的最简单的数

学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系

起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提供合适的数学概念，但

是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。当然，经验始终是检验数学结构的实用性

的唯一标准，但是这种创造的原理都存在于数学之中。因此，在肯定的意义上，我当然地

认为，像古人所梦想的纯粹思维能够把握实在。

　　在另一篇文章中，爱因斯坦重新阐述了他的观点，这段关于上帝的话十分著名：“无

论如何，我都坚信上帝不是在扔骰子。”就算上帝这样做了，也正如爱默生曾说过的，“

上帝的骰子总是灌过铅的。”爱因斯坦在这里并未断言我们今天的数学定律都是正确的，

但是其中有些是正确的，并且我们有望越来越接近它们，正如爱因斯坦所说：“上帝难于

捉摸；但并无恶意。”

　　像爱因斯坦一样，作为伟大的历史学家和科学哲学家之一的皮埃尔·杜恒在《物理理

论的目的及结构》中也从怀疑转向肯定。他先是将物理理论描述为“一种以在逻辑上将一

堆实验定律概括和分类，但不要求解释这些定律为目的的抽象体系。”理论是近似的、暂

时的和“被剥去所有客观注释的”。科学只熟悉那些可觉察的外观，我们应该放弃这种幻

觉，在理论化过程中，我们是在“撕去这些可觉察外观的面纱”。而当一个天才科学家给

混乱不堪的景象注入数学的秩序和清晰时，他就以不能揭示宇宙的真正本质的抽象符号来

取代相对易于理解的概念。但在最后杜恒却这样说：“我们不能想象这种秩序和组织（由

数学定理所产生）不是现实的影像。”这个世界是由一位伟大的建筑师用数学设计的，上

帝永远在进行几何化，而人类的数学则描述了这一设计。

　　魏尔肯定数学反映了自然的秩序。在一次谈话中，他说道：

　　自然界固有一种隐含的和谐，它反映在我们头脑中的影像则是简单的数学定律。这便

是为什么自然界现象可以通过观察和数学分析相结合而预知的原因。在物理学史上，这种

内在和谐的概念，或者说这种梦想，出乎我们意料地一次又一次被证实。

　　然而，愿望也许是思想之父，因为在《数学与自然科学的哲学》一书中，他补充道：



　　如果没有一种对真理和现实先验的信仰支持，如果在事实和结构与思想的意象之间没

有持续不断的相互作用，那么，科学便会枯萎死去了。

　　像爱因斯坦一样，作为伟大的历史学家和科学哲学家之一的皮埃尔·杜恒在《物理理

论的目的及结构》中也从怀疑转向肯定。他先是将物理理论描述为“一种以在逻辑上将一

堆实验定律概括和分类，但不要求解释这些定律为目的的抽象体系。”理论是近似的、暂

时的和“被剥去所有客观注释的”。科学只熟悉那些可觉察的外观，我们应该放弃这种幻

觉，在理论化过程中，我们是在“撕去这些可觉察外观的面纱”。而当一个天才科学家给

混乱不堪的景象注入数学的秩序和清晰时，他就以不能揭示宇宙的真正本质的抽象符号来

取代相对易于理解的概念。但在最后杜恒却这样说：“我们不能想象这种秩序和组织（由

数学定理所产生）不是现实的影像。”这个世界是由一位伟大的建筑师用数学设计的，上

帝永远在进行几何化，而人类的数学则描述了这一设计。

　　魏尔肯定数学反映了自然的秩序。在一次谈话中，他说道：

　　自然界固有一种隐含的和谐，它反映在我们头脑中的影像则是简单的数学定律。这便

是为什么自然界现象可以通过观察和数学分析相结合而预知的原因。在物理学史上，这种

内在和谐的概念，或者说这种梦想，出乎我们意料地一次又一次被证实。

　　然而，愿望也许是思想之父，因为在《数学与自然科学的哲学》一书中，他补充道：



　　如果没有一种对真理和现实先验的信仰支持，如果在事实和结构与思想的意象之间没

有持续不断的相互作用，那么，科学便会枯萎死去了。

　　尽管数学是一项纯粹的人类创造，但它为我们开辟了通往自然某些领域的道路，使我

们走得比全部预想更远。实际上，和现实距离如此遥远的抽象概念能获得巨大的成就，这

本身就不可思议。数学解释也许确系人为，它也许是一个童话，但却是一个合乎道义的童

话。即使我们不易解释人类的理性，但它却有力量。

　　数学的成功是有代价的，代价就是把世界用长度、质量、重量、时间等简单概念来看

待。这样的解释是不足以表示丰富多彩的体验的，就如同一个人的身高并非此人一样。数

学最多只描述了自然的某些过程，但其记号并未容纳所有的一切。

　　此外，数学处理的是物理世界中最简单的概念与现象，它的研究对象不是人而是无生

命的物质，它们的行为是重复性的因而数学可以描述。但在经济学、政治理论、心理学以

及生物学领域，数学就无能为力了。即使在物理王国，数学也只研究简单化的事物，这些

简单化的事物与现实的接触就如同曲线的切线仅切曲线于一点一样。地球环绕太阳的轨迹

是一个椭圆吗？不。只有当把地球和太阳都看作是质点而宇宙中其他天体的影响都忽略不

计时才能成立。地球上的四季是年复一年循环的吗？也很难说，我们只能说从其大体上考

虑，就像人们能够感受到的那样，四季是这样循环的。

　　我们能够因为不能理解数学不可思议的有效性而放弃使用它吗？赫维赛曾说：我能因

为不知道消化的过程而放弃进食吗？经验驳斥了怀疑者。合理的解释则为自信所不屑。在

给予宗教、社会科学和哲学全部应有的尊重，而我们又清楚地认识到数学并不处理我们生

活中的这些方面的情况下，数学在给予我们知识方面仍然取得了不可限量的成功。这门知

识并不只是建立在其正确性的断言上，在每台收音机到原子能发电厂的工作中，在日食或

月食的预言中，在发生于实验室的成千上万的事件中，在日常生活中，每天我们都可以检

验它的正确。

　　数学处理的虽是较简单的物理世界的问题，但在其领域中它获得了最成功的发展。人

类从数学中获得的力量促使他们希望自己能占有一席之地。数学治理了自然，减轻了人类

的负担，从数学的成功中人们鼓起了勇气。

　　关于数学为何有效的问题并不仅限于学术范围以内。数学在工程上的运用过程中，人

们在多大程度上依赖数学预言和设计呢？设计一座桥梁时，还需要用无穷集的理论或者选

择公理吗？桥梁不会倒坍吗？庆幸的是，一些工程项目所用定理有过去的经验作为坚强后

盾，人们可以放心使用。人们有意过度设计许多工程项目，于是，桥梁用钢这样的材料建

造，但由于我们有关材料强度的知识并不准确，因而工程师便采用较理论要求强度为大的

粗索和桁梁。但是，在建造以前从未有过的一类工程时，我们就必须注意所用数学的可靠

性。在这种情况下，我们就应采取小心谨慎的态度，在建造本身开始以前采用小规模的模

型或其他检验措施了。

　　这一章的中心是找到一些解决数学和数学家所面临的困境的方法。数学并没有被普遍

采纳的体系，各个不同学派所提倡的许多条道路也不可能一一探究，因为这样做将会掩盖

数学的真正目的，即促进科学的进步。因此，我们提倡用目的作为标准。我们也已经探讨

过由这一过程引发的问题和结果了。然而，当我们强调数学对科学的应用时，并不排除数

学王国里其他有价值的，甚至是明智的探求途径。我们确已指出（见第十三章），即使在

探求应用数学的过程中也需要各种各样的协助活动，如抽象化，一般化，严格化及方法的

改进。除此之外，我们还可证明那些与数学不直接相关的基础研究在科学探索中是有用的

。直觉主义者原打算用它们的结构主义方案，取代毫无意义的存在定理，却产生了计算量

的方法，而纯粹的存在定理只是告诉我们这些量的存在。为了简单之故，我们举个老例子

，欧几里得证明了任意一个圆的面积与其半径的平方之比对于所有的圆都相同。这个比当

然是π，于是欧几里得证明了一个纯粹的存在定理。但是知道π的值对我们计算任意给定

圆的面积，显而易见是很重要的。还好，阿基米得的近似计算和后来的一些级数展开使我

们能够在直觉主义者向纯粹的存在定理发起挑战以前很久就计算出了π值。同样，其他一
些
已证明其存在的量也应计算出来。因而，结构主义方案应予以贯彻。


　　进行基础研究还有一种潜在的价值，这就是可以得出可能的矛盾。相容性并未证实，

因此，找到矛盾或者找到明显荒谬的定理至少可以淘汰一些现在耗费数学家时间和精力的

待选择品。我们对数学地位的解释当然不尽人意，我们剥夺了它的真实性；它不再是一个

独立的、可靠的、有着坚实基础的知识体系。许多数学家背弃了对科学的热诚，这在历史

上的任何时期都是令人扼腕的事，特别是在应用可能为数学指明了正确的前进方向时尤为

可叹。而已应用的数学的惊人力量仍有待于解释。

　　抛开这些缺点和局限性不谈，数学对人类的贡献还有许多。它是人类最杰出的智慧结

晶，也是人类精神最富独创性的产物。音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉

，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学

则能够做到所有这一切。另外，在推理力所能及的方向，数学家们已尽了最大的努力使人

类的头脑能维护其结论的合理性。“数学一样的精确”作为一条谚语并非偶然，数学仍然

是可用的最好知识的典范。

　　数学的成就是人类思想的成就，作为人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇气

和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾

病，去质疑去改善那些人们生活中的政治体系。在这些努力中，数学也许起到了作用，也

许并无作用，但是我们对成功不可抑制的渴望来源于数学。

　　数学的价值至少不比任何人类创造小。如果所有这些价值不易于或不能广泛地为人们

所领悟和欣赏的话，所幸它们均被利用了。如果说攀登数学殿堂较攀登音乐殿堂更为艰巨

，那么所得到的报酬也将更为丰厚，因为它包括人类创造可提供的几乎所有的智力的、艺

术的和情感的价值。攀登一座高山也许要比攀登一座低矮的山头更为费力，但是高处的视

野可延伸到更远的地平线处，而我们能提出的唯一的问题则是哪一个价值更为重要。然而

，这个问题各人的回答不尽相同，因为个人的判断、意见和品味已溶于其中了。

　　就知识的确定性而言，数学是一种理想，我们为这一理想而奋斗，尽管我们也许永远

不会达到。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影，它是如此无止境地难于捉摸

。然而，理想具有力量和价值，公正、民主和上帝都是理想。的确，也有在上帝的幌子下

被谋杀的人，审判不公的案件也臭名远扬，但是，这些理想是千百年来文化的重要产物。

数学也是一样，尽管它也仅是一种理想。也许细想这一理想将会使我们更加清楚地认识到

在任一领域，我们该选择什么方向才能获取真理。

　　人类面临的困境实在可怜。我们是广袤宇宙中的流浪汉，在自然的劫后余迹前孤立无

援，我们依仗自然提供食物和必需品，在我们为何生于这个世界，又应为什么而奋斗的问

题上都被一致化了。人类孤单地生存在一个冷酷的、陌生的宇宙中，他凝视着这个神秘的

，瞬息万变的、无穷的宇宙，为他自己的渺小感到迷惑、困扰甚至惊骇不已。正如帕斯卡

所说：

　　究竟为什么人存在于自然界中？无与无穷有关，全体与无有关，对无和全体及无穷之

间的点我们一无所知。事物的结束和开始都被全无破绽地隐藏在一个难以洞察的秘密之中

。同样，人类也无法知晓他为何来自一无所有，又如何被卷入了无穷无尽。

　　蒙田（Michel EyquemdeMontaigne）和霍布斯也用不同的语言阐述了同样的观点：人

的生命是寂寞的、穷困的、艰险的、野蛮的和短暂的，他是偶然事件的牺牲品。

　　凭着一点有限的感性知识和大脑，人类开始探究其自身的奥秘。通过使用感官瞬间揭

示的东西和可从实验中推知的事物，人类选用了公理并应用他的推理能力。他在寻求秩序

，他的目的，就是建立与瞬变的感觉相对立的知识体系，建立可以帮助他获取有关其生存

环境奥秘的解释模型。而他的主要成就，也是人类自身理性的产物，就是数学。它并不是

完美的佳作，即使不断地完善也未必能去除所有的瑕疵。然而，数学是我们与感性知觉世

界之间最有效的纽带。尽管我们不得不尴尬地承认数学的基础并不牢固，但是数学仍是人

类思想中最贵重的宝石，我们必须将其妥为保管并节俭使用。它处于理性的前列，毫无疑

问将继续如此，就算是进一步的研究复查又发现新的缺陷。怀特海曾写道：“让我们把数

学的追求看作是人类精神上神授意的疯狂吧。”疯狂，也许可以这么说，但是，毫无疑问

，它是神授的。



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※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 202.118.229.86]