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发信人: grant (浴火重生), 信区: Math
标  题: 从悖论说起----芝诺悖论 
发信站: 紫 丁 香 (Sun Sep 13 09:18:47 1998), 转信

连续性的矛盾 
－－－－芝诺悖论 
公元前5世纪希腊哲学家芝诺提出4个著名的悖论： 
第一个悖论是说运动不存在。理由是运动物体到达目的地 
之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半 
路……如此下去，它必须通过无数个点，这在有限长时间之内 
是办不到的。 
第二个悖论是跑得快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。阿 
希里是希腊跑得最快的人，为了确定起见，假定乌龟的速度是 
阿希里的1/100，阿希里由A点出发向B点跑去，乌龟由B点 
出发向远离A的方向爬。假设AB两点各相距100米，从经验 
来看阿希里在很短时间内就能追上乌龟。但是从芝诺的分析， 
阿希里永远追不上乌龟并且永远到不了B点。这是因为当阿希 
里到达AB中点C1时，乌龟已离开了B点，走了1/200 AB的 
距离。下一步，阿希里到达C1B的中点C2，接着C2B的中点 
C3，……同时乌龟也爬了相应的距离的1/100，芝诺悖论的关 
键是阿希里要到达B，必须经过无穷点列C1，C2，C3，……， 
但是有穷的时间不能在无穷多个点上出现，因此，阿希里永远 
到不了B点，从而永远也追不上乌龟。这两个悖论是仅对空间、 
时间无限可分的观点的。 
而第三、第四悖论是仅对空间、时间由不可分的间隔组 
成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞 
矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四 
个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看 
到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，当然他们无法解决这些 
矛盾。 
近代对芝诺悖论的处理，分成两步，第一步是极限观念的 
引进，空间及时间的模型是实数直线，实数直线无限可分，并 
不妨碍在很短的时间通过很短的路程而保持速度一定。无穷多 
时间片断之和可以存在有限的极限。第二步是认识到对实数域 
承认阿基米德公理才能解决芝诺悖论。也就是对任何实数 
a,b>0存在自然数n，使an>b，但近代数学的确存在非阿有序 
域，对于它，芝诺的说法的确成立。 
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 我渴望做一只飞翔的鸟
     渴望在自由的天空中翱翔
          翱翔在自由的天空直到永远，永远......

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