Math 版 (精华区)

发信人: grant (浴火重生), 信区: Math
标  题: 从悖论说起----为消除悖论而战 
发信站: 紫 丁 香 (Sun Sep 13 09:22:34 1998), 转信

为消除悖论而战 
一一公理集合论 

德国数学家策梅罗采取希尔伯特的公理化方法回避悖 
论，他把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个 
公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由 
公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处 
理它们，他引进七条公理： 
（1）决定性公理（外延公理）：假如一个集合M的元素 
同时是一个集合N的元素，反过来，集合N的每个元素也是 
M的元素，则M＝N。简单来讲，每一个集合由它的元素所 
决定。 
（2）初等集合公理（空集合公理、单元素集合公理、对 
集合公理）： 
①空集合公理：存在一个集合“空集”，完全不包括任何 
元素，用ψ表示； 
②单元素集合公理：如果a是任何一个对象，那么存在一 
个集合（a），它的元素包含a且只包含a； 
③对集合公理：假如a和b是两个对象，且存在一个集合 
(a，b)，它只包含a和b为它的元素，而不包含不同于a也不 
同于b的任何其他对象。 
（3）分离公理组：假如谓词E(x)对于一个集合M网所 
有元素都有定义，则M有一个子集，M包含且仅仅包含M中 
那些使E(x)为真的元素。 
（4）幂集合公理：每一个集合T都对应另外一个集合 
P(T)（T的幂集），它的元素包含且仅包含T的所有子集合。 
（5）并集合公理：对于集合S和T都对应一个S、T的 
并集即集合S∪T，它包含且仅仅包含作为S的元素和T的元 
素为元素。 
（6）选择公理（另有文章讨论）。 
（7）无穷公理。（Sorry, 不是很清楚） 
实际上策梅罗的公理系统Z（公理l至7）把集合限制得 
使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等 
等，从而消除罗素悖论产生的条件。 
策梅罗不把集合只简单看成一些集团或集体，它是满足七 
条公理的条件的对象，这样排除了某些不适当的“集合”，特 
别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内涵公理组，如今已换 
成弱得多的分离公理组。 
策梅罗的形式集合论，经过许多人的修改和补充形成了一 
个适当的体系，这个体系对于开展全部数学分析是够用的也是 
适当的。另一方面，它也很好地避开悖论。从理论上讲，对于 
任何公理系统都应该证明公理系统是无矛盾的、独立的、完备 
的以及范畴的，至少为了不推出矛盾的东西。无矛盾性首先要 
保证，这点至今还没有能够证明。人们只能满足于至今还没有 
在其中发现什么矛盾。 

--

 我渴望做一只飞翔的鸟
     渴望在自由的天空中翱翔
          翱翔在自由的天空直到永远，永远......

※ 来源:．紫 丁 香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: jxjd.hit.edu.cn]