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发信人: grant (浴火重生), 信区: Math
标  题: 从悖论说起----一场大论战 
发信站: 紫 丁 香 (Sun Sep 13 09:27:35 1998), 转信

一场大论战 
——逻辑主义、直觉主义与形式主义 

由于悖论的出现，产生了数学基础论的危机，其后30年 
间，围绕着各种问题进行热烈的争论，出现相互对立的逻辑主 
义、直觉主义、形式主义三大学派。 
罗素是逻辑主义的代表人物，他们解决悖论的办法是分支 
类型论。为了避免悖论，他们规定集合自身不能作为它本身的 
元素。这样他们必须对命题加以区分，不同类型的命题不能等 
量齐观，从而造成极大的复杂性。为了避免繁琐复杂，他们又 
引进可化归性公理，即所有命题都可以化归为等价的0型命 
题。但这个公理是完全任意的，遭到许多人反对。特别是罗素 
等人企图从逻辑中推出全部数学。推导过程极为繁琐，以至花 
上几百页才能把数l定义出来，无怪乎法国大数学家彭加勒挖 
苦他们说：“这是一个可钦佩的定义，它献给从来没有听说过 
l的人。”从哲学上来讲，也很难在这个体系中补充直观和经 
验的概念，从而使数学成为“不结果实的”、纯粹形式的演绎 
科学。不过，罗索等人以符号形式实现逻辑数学化，从而极大 
地推动数理逻辑的发展，这种功绩是不可抹杀的。 
直觉主义者走向另一个极端，他们否定实在的无限。克罗 
内克甚至否定无理数的存在，连圆周率π都认为不存在，因为 
从整数出发，无法造出π来。对于这种极端的看法，当然支持 
的人多。到20世纪初，这种思想又重新抬头，其代表人物是 
布劳威尔。他在1907年发表《论数学基础》，正式建立起直 
觉主义数学。他们否定排中律，也就是认为存在着既不能证明 
也不能否证的命题。他们坚持所有定义和命题都必须通过构造 
来实现，从而根本不承认无穷集合论。虽然他们因此消除了悖 
论，但是也因此否定了大部分经典数学。到30年代，他们又 
花了很大力气具体实现他们的纲领，把数学建立在构造的基础 
上，尽管他们取得相当的成就，但也无法与整个数学的大洋相 
提并论。 
反对直觉主义最有力的是希尔伯特。希尔伯特认为数学的 
真理所在就是没有矛盾，而不在于能否构造出来。他提出的形 
式主义的主要论点是：数学本身是形式系统的集合，每个形式 
系统都包含自己的逻辑、概念、公理及推理规则；数学的任务 
就是发展出每一个这样的演绎系统，在每一个系统中，定理的 
证明通过一系列程序得到，只要这种推演过程不产生矛盾出 
来。为此，希尔伯特以数学的证明为研究对象，提出所谓希尔 
伯特纲领，成为后来证明论（元数学）的来源。在希尔伯特纲 
领中，希尔伯特要求无矛盾性的证明通过有限的构造步骤达 
到，而且力图首先在初等算术的系统中实现。但是1931年奥 
地利数学家哥德尔证明这个要求是达不到的
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 我渴望做一只飞翔的鸟
     渴望在自由的天空中翱翔
          翱翔在自由的天空直到永远，永远......

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