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发信人: grant (浴火重生), 信区: Math
标  题: 从悖论说起----哥德尔不完全定理 
发信站: 紫 丁 香 (Sun Sep 13 09:42:39 1998), 转信

行得通与行不通 
—一哥德尔不完全定理 

1930年左右，整个数学基础问题集中于希尔伯特的公理化 
计划是否行得通，而这个问题的关键是是否能证明数学公理系 
统，特别是初等数论的公理系统的无矛盾性能否在公理系统内 
完成。 
哥德尔证明不完全性定理是从考虑希尔伯特计划中数学 
分析的无矛盾性问题开始的。1930年秋在哥尼斯堡会议上他 
宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如 
果是无矛盾的，那就是不完全的。或者说，包含初等数论在内 
的协调的或无矛盾的形式系统F中，都存在有不可判定的命 
题，也就是存在命题S，S和S的否定在F中都不能证明。不 
久之后他又宣布：如果初等算术系统是无矛盾的，则在算术系 
统内不可证明， 
哥德尔的证明使用了“算术化”的方法。哥德尔说：“一 
个系统的公式……从外观上看是原始符号的有穷序列……不 
难严格地陈述，哪些原始符号的序列是合适公式，哪些不是。 
类似地，从形式观点来看，证明也只不过是（具有某种确定性 
质的）一串公式的有穷序列。”因此，研究一个形式系统实际 
上就是研究可数个对象的集合。我们给每个对象配上一个数， 
这种把每一个对象配上一个数的方法称为“哥德尔配数法”。 
哥德尔通过这些数反过来看原来形式系统的性质。 
哥德尔的论文在1931年发表之后，立即引起逻辑学家的 
莫大兴趣，它开始虽然使人感到惊异不解，不久即得到广泛承 
认，并且产生巨大的影响。 
（1）哥德尔的证明对希尔伯特原来的计划是一个巨大的 
打击。把整个数学形式化的打算是注定要失败的。形式主义的 
原则是不能贯彻到底的。 
（2）“希尔伯特计划”中证明论的有限主义观点必须修 
正。从而使证明论的要求稍稍放宽。1936年甘岑在容许超穷 
归纳的条件下证明了算术的无矛盾性。 
（3）哥德尔的工具递归函数促进了递归函数论的系统研 
究，同时推动不可判定问题的研究，开始出现递归论的新分 
支。 
这样，哥德尔不完全定理的证明结柬了关于数学基础的争 
论不休的时期，走向了一个新的时代
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          翱翔在自由的天空直到永远，永远......

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