Math 版 (精华区)

发信人: grant (浴火重生), 信区: Math
标  题: 从悖论说起----无穷无尽的探索 
发信站: 紫 丁 香 (Sun Sep 13 10:05:24 1998), 转信

无穷无尽的探索 
——数学基础与数理逻辑 

19世纪末到20世纪初，数学经历一个翻天覆地的变化， 
其原因来源于对于数学基础的探究。过去对数学的基本概念， 
人们是不加追究的，除了哲学家之外，没有人去讨论：什么是 
数?什么是曲线?什么是无穷?数应该是什么?公理应该如何?空 
间应该如何?直观是否靠得住?逻辑是不是数学的基础?等等。 
19世纪70年代起由于几何及分析的发展，有的数学家开 
始关心起这类事情来。这些问题提起来容易，解决却很困难， 
而且都不是作为研究论文发表出来，而是在讲课中，在教科书 
中，在通信中慢慢传播开来的。这个过程很慢，实际上阻力也 
很大，许多数学家到死都反对没有切线的曲线，克洛内克连π 
的存在都反对就是典型的例子。正是由于外尔斯特拉斯、戴德 
金、康托尔和希尔伯特等人的努力，基础研究在康托尔的晚年 
才为广大数学家所重视，形成一个基础研究的热潮，几乎所有 
数学家都参加进来。 
数学基础的研究大致分成四大支脉，彼此之间也并非完全 
独立，而是彼此交叉，形成现代数学的新方向： 
（1）数的理论以及空间或其他对象的理论。说到数学分 
析，就要搞清楚什么是无理数?什么是实数?在大家对实数定义 
了以后，大家又该追问自然数是从哪儿来的?这个方向领头的 
是外尔斯特拉斯、戴德金、康托尔及皮亚诺。 
（2）集合及无穷或超穷数的理论，连续统的理论，这是 
康托尔一个人的独创。 
（3）公理化理论。1899年希尔伯特的《几何学基础》 
的出版是这方向研究的里程碑，从此之后，形成一个公理化热 
潮，集合论也不例外。 
（4）逻辑的数学理论。从19世纪中叶起，这是在孤立 
的情况下进行，可以说与数学主流脱离很远，一直到19世纪 
末才汇入整个数学研究的大河当中，领先的是布尔，其后弗雷 
格及皮亚诺做出决定性贡献，其后罗素及怀特海又集其大成。 
康托尔集合论产生出悖论，悖论弓[发了20世纪初的基础 
大战，因此数学家、哲学家很快就分成两大阵营，各有当时数 
学界的领袖人物为代表：尊重传统、反对无穷集合论的一派以 
庞加莱为代表，维护集合论的一源以希尔伯特为代表，他们各 
有自己的同盟军，面对面地展开基础大战。 
希尔伯特把他自己的观点称为公理主义者，他认为只有公 
理方法才能解决所有的困难，他的目的是建立算术的公理及其 
无矛盾性，他接受实在无穷并且称赞康托尔的工作。为此，他 
提出一个明确的方案——希尔伯特计划。 
1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，并得到了 
蓬勃发展。哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特有限主义纲 
领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有 
限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准 
化。这些主要在30年代完成。同时哥德尔引进“逆归函数， 
发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。而哥德尔本人转 
向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。50 
年代模型论应运面生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积 
极的作用。正是这些研究的发展形成当代数理逻辑的四大分 
支：模型论、公理集合论、递归论、证明论，基础研究形成独 
立的数学体系。 



--

 我渴望做一只飞翔的鸟
     渴望在自由的天空中翱翔
          翱翔在自由的天空直到永远，永远......

※ 来源:．紫 丁 香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: jxjd.hit.edu.cn]