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发信人: grantll (坐看云起), 信区: Math
标  题: 高教社杯数学建模知识竞赛
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年09月20日08:46:04 星期五), 站内信件

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（A题、B题）


l   A题、B题任选一题。
l   答卷用白色A4纸，第一页为空白页（用于赛区或全国组委会对论文进行编号）。
l   论文题目和摘要写在第二页上，从第三页开始是论文正文。
l   论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。
l   提请大家注意：从去年起，提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。
l   全部题目可以从以下网址之一下载：
http://mcm.edu.cn   http://www.hep.edu.cn   http://mcm.diy.163.com






A题  车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开
口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称
地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
    该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与F
A垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A
点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1
个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
    请解决下列问题：
（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。

B题  彩票中的数学 

近年来"彩票飓风"席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到"彩民"的行列，目前
流行的彩票主要有"传统型"和"乐透型"两种类型。
"传统型"采用"10选6+1"方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然
后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本
号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的
个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码"abcdef+g"为例说明中奖等级，如表一（X表
示未选中的号码）。
                                表一
中  奖等  级    10  选  6+1（6+1/10）
          基 本 号 码                       特别号码    说  明
一等奖  abcdef                                                  g   选7中（6+
1）
二等奖  abcdef      选7中（6）
三等奖  abcdeX    Xbcdef            选7中（5）
四等奖  abcdXX   XbcdeX    Xxcdef   选7中（4）
五等奖  abcXXX  XbcdXX    XXcdeX   XXXdef       选7中（3）
六等奖  abXXXX  XbcXXX   XXcdXX  XXXdeX   XXXXef    选7中（2）

"乐透型"有多种不同的形式，比如"33选7"的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇
出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任
选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖
等级，不考虑号码顺序。又如"36选6+1"的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6
个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成
一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不
考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
                               表二
中  奖等  级    33  选  7（7/33）   36  选  6+1（6+1/36）
    基 本 号 码  特别号码   说  明  基 本 号 码  特别号码   说  明
一等奖  ●●●●●●●          选7中（7）  ●●●●●●     ★ 选7中（6+1）
二等奖  ●●●●●●○   ★ 选7中（6+1）    ●●●●●●    选7中（6）
三等奖  ●●●●●●○  选7中（6）  ●●●●●○     ★ 选7中（5+1）
四等奖  ●●●●●○○    ★    选7中（5+1）    ●●●●●○        选7中（5
）
五等奖  ●●●●●○○  选7中（5）  ●●●●○○     ★ 选7中（4+1）
六等奖  ●●●●○○○    ★    选7中（4+1）    ●●●●○○        选7中（4
）
七等奖  ●●●●○○○  选7中（4）  ●●●○○○     ★ 选7中（3+1）
注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。

     以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若
已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案
如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按
比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为
：
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置
以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种"更好"的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

                                             表三 
序号          奖项方案  一等奖比  例    二等奖比  例    三等奖比  例    四等
奖金  额    五等奖金  额    六等奖金  额    七等奖金  额    备  注
1   6+1/10  50% 20% 30% 50              按序
2   6+1/10  60% 20% 20% 300 20  5       按序
3   6+1/10  65% 15% 20% 300 20  5       按序
4   6+1/10  70% 15% 15% 300 20  5       按序
5   7/29    60% 20% 20% 300 30  5       
6   6+1/29  60% 25% 15% 200 20  5       
7   7/30    65% 15% 20% 500 50  15  5   
8   7/30    70% 10% 20% 200 50  10  5   
9   7/30    75% 10% 15% 200 30  10  5   
10  7/31    60% 15% 25% 500 50  20  10  
11  7/31    75% 10% 15% 320 30  5       
12  7/32    65% 15% 20% 500 50  10      
13  7/32    70% 10% 20% 500 50  10      
14  7/32    75% 10% 15% 500 50  10      
15  7/33    70% 10% 20% 600 60  6       
16  7/33    75% 10% 15% 500 50  10  5   
17  7/34    65% 15% 20% 500 30  6       
18  7/34    68% 12% 20% 500 50  10  2   
19  7/35    70% 15% 15% 300 50  5       
20  7/35    70% 10% 20% 500 100 30  5   
21  7/35    75% 10% 15% 1000    100 50  5   
22  7/35    80% 10% 10% 200 50  20  5   
23  7/35    100%    2000    20  4   2           无特别号
24  6+1/36  75% 10% 15% 500 100 10  5   
25  6+1/36  80% 10% 10% 500 100 10      
26  7/36    70% 10% 20% 500 50  10  5   
27  7/37    70% 15% 15% 1500    100 50      
28  6/40    82% 10% 8%  200 10  1       
29  5/60    60% 20% 20% 300 30          


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曾经沧海难为水，除却巫山不是云。
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