Math 版 (精华区)

发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标  题: 复旦的离散考题 
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Apr  7 15:10:48 2000), 转信

发信站: 南京大学小百合站 (Sun Jan 30 13:04:49 2000), 转信

1. (20分) 设 F 是域， E 是它的扩域，对 E 中任一非零元素 u，写出单扩域
F(u^（-1）) 中元素的一般形式。

2. (18分) 设 a 是 GF(49) 的本原元，问该伽罗瓦域还有多少本原元? 请用 a 的函
数来表示它们。

3. (20分) 设G是有限可交换群，p是G的阶的素因子，证明: G 有 p 阶子群。

4. (20分) 设B是有单位元环，而且是幂等的，证明它是可交换的，然后说明如何
定义B上的与，或，补 运算而成为布尔代数。(不必验证这些运算应该满足的性质
，但要写出这些性质和布尔代数和布尔格的定义)

5. (22分) 设 R 是环， R_1 是 R 的子环， I 是 R 的理想，
证明: (R_1 + I)/I 同构于R_1 /R_1 交 I，
其中 R_1 + I = {a + b \ a belong to R_1, b belong to I}。
本题要求:
简述 R_1+I 是子环，I是子环R_1+I的理想，R_1  I 是R_1的理想的理由，
从而说明题中两个商环是合理存在的。
 (1) 写出上述两个商环中元素的一般形式。
 (2) 写出同态映射或同构映射， 而且证明该映射是合理的，即是单值的:映射的象与
     原象代表元选取无关，然后要说明它是同态或同构的。
     如果使用环同态基本定理，要写出该定理并写出该映射的核。

以下附加题可做可不做:

附加题1.  求GF(27)的本原多项式，求出第1个得6分，第2个再加5分,第3个再加4分,
          ...，依次类推，多求出一个本原多项式至少加2分。但求出过量，则要减分。

附加题2.  设 G 是有限可交换群， p^2 是  G 阶的 的因子，p 是素数，
          证明: G 有 p^2 阶子群(加10分)。
          你对此结论还能作进一步推广吗?(再加10-15分)
  

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※ 修改:．micheal 于 Apr  7 15:15:29 修改本文．[FROM: hitsat.hit.edu.c]