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作  家: oli (西西 ) on board 'Math'
题  目: 小烟谈数学（5）————说说协同计算（三）
来  源: 哈尔滨紫丁香站
日  期: Sat Aug 16 19:12:21 1997
出  处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn

发信人: smoke (趁小烟对数学还有兴趣), 信区: Mathematics
标  题: 小烟谈数学（5）————说说协同计算（三）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Sun May  4 18:36:03 1997)


在上面这个例子中，系统固有运动的时间常数是 t0 = 1/γ,
而外力的固有时间常数t' = 1/δ, t'》t 表示系统振动随时
间衰减很快，而外力随时间衰减远较系统振动为慢。系统最
终受外力支配，跟随外力进行运动。

然而事实上系统发生变化，并不总是靠某一给定外力的强迫
作用，大多数情况下是靠子系统之间的“协同”作用。

再看下面这个微分方程组：
                dq1/dt = -γ1 * q1 - a * q1 * q2        (4)
                dq2/dt = -γ2 * q2 + b * q1 ^ 2         (5)
假设其中γ1 ≠0 , γ2 > 0, 且γ2 》γ1。
令dq1/dt = dq2/dt = 0，就得到系统的稳态：
                                1/2
        q1 = ±( -γ2 * γ1 / a )           q1 = 0
      ｛                                或｛
        q2 =  -γ1 / a                      q2 = 0
下面以q1 =0 ,q2 =0 分析一下解的稳定性。
在q1 和 q2 上加一些小扰动: q1 = δq1 , q2 = δq2。
代入原方程组，略去高阶小量，得到：
        d(δq1)/dt = -γ1 * δq1
        d(δq2)/dt = -γ2 * δq2

于是δq1 = C1 * exp( -γ1 * t ), δq2 = C2 * exp( -γ2 * t)
虫虫们看出来了吧，当γ1 < 0 时，q1 不稳定，而q2 则是渐近稳定的。
对另外那组解也可得到类似的结果。因为γ2 》γ1，根据咱们上回讨论
受迫振子的结果，这儿q1相当于外力F(t), 而q2 相当于振子的位移大小。
于是q1 可以支配q2 , 令dq2/dt = 0，得到：
           ~~~~
                -1       2
        q2 = γ2  * b * q1(t)
将上式代入（5）式，得到：
        dq1/dt = -γ1 * q1 - (a * b)/γ2 * q1 ^ 3
这个一元微分方程就叫做“序参量方程”。
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      * 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *                      

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