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发信人: zjliu (Robusting), 信区: Math
标  题: 第三章 计算机上作图
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Jan  2 16:44:25 2003) , 转信

科学与艺术的交融最终是通过数学完成的，而数学一开始就是关于数字的科学。数数和
对数 做加减乘除是初等教育的重要内容。[1987年在北京大学院内一个青年曾兴致勃勃
地对我说 过：“将来我儿子只教会他数钱就够了!”不知怎地，我时常想起那情景。]人
们对“数”本 来不陌生，而对“数字化”却多少有些恐惧。什么是“数”?
这类问题太简单了，也太复杂了，似乎只有少数“无聊”的哲学家关心。其实不然。我
们处 于一个数字化的时代，人人都应重新思考“数”的含义、意义。
我们在生活中随心所欲地使用各种数字，比如我们说：“7是一个质数”；“前面走来4
只动 物，其中1只是羊，3只是鸡。”这里7、4、1、3的用法是不同的，大致可分为两类
：7与4、 3、1。7作为专名出现；而4、1、3作为修饰词出现，但并不同于“大”、“红
的”、“重” 之类形容词。著名逻辑学家弗雷格深入研究了数的哲学，曾著有《概念文
字》、《算术基础 》和《算术的基本规律》。他一生中都关心数、研究数。他指出数与
颜色、重量、形状等等 是不同的，数直接表达的不是实存对象的性质，而是概念的性质
。
弗雷格这一思想是极其重要的，它将人类的概念划分出等级层次。通过这一思想，我们
认识 到，一些原始人类的抽象能力也是很发达的，因为原始人也开始自由地使用数字表
达事物。由“三只羊”、“三条狗”、“三个果子”抽象出一般的数字“3”，是人类区
别于动物的 一个很特别的能力，在科学史上有重要意义。
数是对“类”的限定，数的承载者是“概念”。“前面走来4只动物，其中1只是羊，3只
是 鸡。”这句话中“4”对“动物”这个“类”作出限定、描述，“动物”是人抽象出
标  题: 第三章 计算机上作图
发信站: 我爱南开站 (2002年12月31日03:01:45 星期二), 站内信件

科学与艺术的交融最终是通过数学完成的，而数学一开始就是关于数字的科学。数数和
对数 做加减乘除是初等教育的重要内容。[1987年在北京大学院内一个青年曾兴致勃勃
地对我说 过：“将来我儿子只教会他数钱就够了!”不知怎地，我时常想起那情景。]人
们对“数”本 来不陌生，而对“数字化”却多少有些恐惧。什么是“数”?
这类问题太简单了，也太复杂了，似乎只有少数“无聊”的哲学家关心。其实不然。我
们处 于一个数字化的时代，人人都应重新思考“数”的含义、意义。
我们在生活中随心所欲地使用各种数字，比如我们说：“7是一个质数”；“前面走来4
只动 物，其中1只是羊，3只是鸡。”这里7、4、1、3的用法是不同的，大致可分为两类
：7与4、 3、1。7作为专名出现；而4、1、3作为修饰词出现，但并不同于“大”、“红
的”、“重” 之类形容词。著名逻辑学家弗雷格深入研究了数的哲学，曾著有《概念文
字》、《算术基础 》和《算术的基本规律》。他一生中都关心数、研究数。他指出数与
颜色、重量、形状等等 是不同的，数直接表达的不是实存对象的性质，而是概念的性质
。
弗雷格这一思想是极其重要的，它将人类的概念划分出等级层次。通过这一思想，我们
认识 到，一些原始人类的抽象能力也是很发达的，因为原始人也开始自由地使用数字表
达事物。由“三只羊”、“三条狗”、“三个果子”抽象出一般的数字“3”，是人类区
别于动物的 一个很特别的能力，在科学史上有重要意义。
数是对“类”的限定，数的承载者是“概念”。“前面走来4只动物，其中1只是羊，3只
是 鸡。”这句话中“4”对“动物”这个“类”作出限定、描述，“动物”是人抽象出
、 每只脚长着5只脚趾。其实这只是一种有趣的说法而已，不必当真。既然每只手有5个
手指， 为什么不用5进制?历史上几乎没有用5进制的。手指、脚趾加起来是20个，为什
么不是20进 制?除了10进制外，用得多的还有12进制、16进制、20进制、60进制等。目
前世界已经走向 一体化，采用“公制”和10进制是大势所趋，但美国和英国是两个老顽
固，英国人谈到英镑 和先令时用20进制；英美人用到英尺和英寸时用12进制，在常衡重
量中盎司与磅用16进制… …，英美人在度量衡上好像故意躲避10进制!这代表了英美的
傲慢、落后，抑或与众不同?无 论是什么，决不是“先进”和“方便”。
关于“p进位小数”后面讲“康托尔集合”时还要专门谈到，暂不提。
世界作为统一体，印度人发明的、但一直被冠以“阿拉伯”字样的数字，以及在此基础
上的 10进制、纪年，其作用无论怎样高度评估都是不过分的。
在计算机和计算机网络时代，对于机器而言，10个数字中只取两个0和1就够用了。用0和
1可 以表示上面提到的能够“说得清楚”的所有数。
但有一点务请注意，我们通常只能近似地表示数，尤其是对于无理数，在纸面上写出π
、 5的平方根、e等并不等于大功告成，它们只是些代号!在实际中，特别是对于机器，
只有写 出长长的小数展开式，才能作具体运算(当然，目前也有少数系统能够像数学家
一样进行形 式推导)。而这个长长的小数展开式写多长是至关重要的，取十分长固然好
，能够保证精度 ，但费时费力。
在我们这个时代以及未来的时代，一切都将与数打交道，特别是要研究数的表示。数本
身是 抽象的符号，可以对它进行任意解释，但表示的好坏直接影响对其解释以及信息的
提取。无 论从科学的角度还是从艺术的角度，都应研究数及其表示。
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、 每只脚长着5只脚趾。其实这只是一种有趣的说法而已，不必当真。既然每只手有5个
手指， 为什么不用5进制?历史上几乎没有用5进制的。手指、脚趾加起来是20个，为什
么不是20进 制?除了10进制外，用得多的还有12进制、16进制、20进制、60进制等。目
前世界已经走向 一体化，采用“公制”和10进制是大势所趋，但美国和英国是两个老顽
固，英国人谈到英镑 和先令时用20进制；英美人用到英尺和英寸时用12进制，在常衡重
量中盎司与磅用16进制… …，英美人在度量衡上好像故意躲避10进制!这代表了英美的
傲慢、落后，抑或与众不同?无 论是什么，决不是“先进”和“方便”。
关于“p进位小数”后面讲“康托尔集合”时还要专门谈到，暂不提。
世界作为统一体，印度人发明的、但一直被冠以“阿拉伯”字样的数字，以及在此基础
上的 10进制、纪年，其作用无论怎样高度评估都是不过分的。
在计算机和计算机网络时代，对于机器而言，10个数字中只取两个0和1就够用了。用0和
1可 以表示上面提到的能够“说得清楚”的所有数。
但有一点务请注意，我们通常只能近似地表示数，尤其是对于无理数，在纸面上写出π
、 5的平方根、e等并不等于大功告成，它们只是些代号!在实际中，特别是对于机器，
只有写 出长长的小数展开式，才能作具体运算(当然，目前也有少数系统能够像数学家
一样进行形 式推导)。而这个长长的小数展开式写多长是至关重要的，取十分长固然好
，能够保证精度 ，但费时费力。
在我们这个时代以及未来的时代，一切都将与数打交道，特别是要研究数的表示。数本
身是 抽象的符号，可以对它进行任意解释，但表示的好坏直接影响对其解释以及信息的
提取。无 论从科学的角度还是从艺术的角度，都应研究数及其表示。
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