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发信人: zjliu (Robusting), 信区: Math
标题: 第七章对称图案与平面铺砌
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Jan 2 16:46:31 2003) , 转信

写过《六角雪花》一书,此外他还研究了多种形式的平面铺砌问题。天文学家老卡西尼
(G.D.Cassini,1625-1712)也研究过雪花的对称性。德国动物学家海克尔(E.H.Hackel,
1834-1919)为后人留下了大量生物对称图谱，被英国动物学家汤普森(D'Arcy W. Thom
pson, 1860-1948)等人广泛引用。
对称现象人们一点也不陌生，无论自然界的东西还是人造的东西，到处都充满了对称性
。比如人体是左右对称的，蝴蝶的鳞翅是左右对称的，蔷薇科植物(桃、山楂、苹果、
梨、梅等) 的花萼和花瓣具有五次旋转对称性，海螺壳、菊石具有伸缩对称性，照镜子
时物与像之间具有镜像反射对称性，建筑墙体花纹、古建筑的苏式彩画、窗棱图案常具
有平移对称性，等等。可以这么讲，没有对称性就没有装饰艺术。
这样说并不意味着只有对称才是美。其实对称是美，不对称也是美。准确说,对称与对称
破缺的某种和谐组合才是美。单纯对称和单纯不对称都是单调。一个对称的建筑只有放
在不对称的环境空间中才显得美，反之亦然。李政道1996年5月23日在中央工艺美术学
院的演讲中曾说：“艺术和科学，都是对称与不对称的巧妙组合。”
什么是对称?直观上看，对称是指图形在空间中有规律的重现，或者说，“对称是物体相
同部分有规律的重复”。深入到数学、物理层面，对称性是指对象在某种变换下的不变
性。这里的“对象”是什么都可以，可以是“图形”，也可以是“物理定律”。
科学家早就注意到对称性与守恒定律有极其深刻的联系。电荷守恒定律与规范不变性(对
称性)相联系；动量守恒与空间平移不变性(对称性)相联系；能量守恒与时间平移不变
性(对称性)相联系；强相互作用与电磁相互作用中宇称守恒与空间反演不变性(对称性
)相联系。弱相互作用中宇称不守恒，即不具有空间反演不变性(对称性)，李政道和杨
振宁1956年从理论上提出这种可能性，后来吴健雄(1912-1997)、安布勒(E.Ambler)等
人从实验上证实了这种观点。有趣的是，“不对称很少是仅仅由于对称的不存在”(魏
尔)。对于弱相互作用，在做镜子反射操作中，若将所有的物质同时变成反物质，则物
理定律仍然不变，宇称对称性又恢复了。
杨振宁在《基本粒子发现简史》中说：“为什么为了求得对称，就必须将物质和反物质
的变换与镜子反射联合起来，仍旧是一个问题。这样一个问题只有在对物质和反物质之
间的关系有了更深入的了解以后才能得到解答。今天我们还缺少这种了解。”杨振宁还
发现，这种不可思议的“联合变换”在装饰艺术中已习以为常，比如荷兰画家埃舍尔的
“骑士图”(见图7 .3)，骑士图画本身与它的镜像虽然不相同，但是如果将镜像的黑白
两色互换一下，则两者就完全相同了。
从哲学的观点看，我们认为魏尔的话还应当加上半句：“同样，找到对称也绝对不是仅
仅由于非对称的不存在。”
这话的意思是，大自然在不同的层次上表现出不同的对称性(或者称非对称性)水平，我
们不能简单地说大自然整体上是对称的或者是不对称的。以人体为例，人体外形左右对
称，但内脏并不都是左右对称的。再如时间流逝，在经典力学层次上，时间是对称的，
力学定律在时间反演下具有不变性，但是宏观层次上，时间演化是单向的、不对称的，
扩散的墨水不会再聚拢起来，标志岁月流逝的皱纹从无到有并且只能越来越多。试图将
一切都还原为对称性，用对称性解释一切，这种努力所表现出来的精神是值得称道的，
但成功几乎是不可能的。
图7.1 生物形态的对称性。第一排左起依次为天竺葵、长春草、蝴蝶；中排为两种生物
外壳，具有伸缩对称性；下排是海克尔在《挑战者号专集》中收录的放射目生物骨架。

有了计算机以后，有意设计各种对称性图案是十分方便的。不过，完全依靠计算机是不
行的，只有将传统技艺与现代技术结合起来才有生命力。实际上，各国的民间美术、剪
纸、工艺、瓷器、青铜器花纹、瓷砖、壁画、建筑装饰、服饰等，关于对称性提供了取
之不尽的素材、图例，永远为后人创造提供启迪。特别值得指出的是遍布中亚伊斯兰社
会的对称图案，丰富多彩，令人叫绝。当人们以科学的眼光考察伊斯兰社会的对称图形
时，惊奇地发现，数学上几乎所有可能的对称性在穆斯林装饰图案中都能够找到实例。
这些对称装饰艺术品中最令人惊奇之处是，它们具有各种5次旋转对称性。中古时期的
穆斯林艺术家们掌握了高超的几何技巧，对他们来说绘制5次对称铺砌图案是很平常的
事情。
对于装饰艺术而言，对称性可以任意设计，而不必受什么限制，而对于自然界晶体则不
同。晶体具有三维结构，而现在的装饰艺术基本上还限于平面。不过，也许用不了多久
就会考虑三维装饰。建筑装饰实际上早就考虑三维铺砌问题了，所以借用一点结晶矿物
学的知识还不算跑题。
图7.2 雪花的外部形态具有6次旋转对称性。上面两个是天文学家卡西尼绘制的。历史上
开普勒大约于1611年、巴托林(E.Bartholin，1625-1698)于1661年、威尔克(J.C.Wilc
he)于17 61年也都研究过雪花晶体。
晶体是具有格子构造的固体，在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存在，围绕该对称
轴转动所形成的多边形应当符合该面网上结点所围成的网孔。围绕2次、3次、4次和6次
对称轴形成的多边形，都能毫无间隙地充满平面空间。对于5次轴或者高于6次的对称轴
旋转时所形成的图形不能无间隙地布满平面空间。于是自然界晶体所具有旋转对称轴只
能有L^1（平庸类型）、L^2、L^3、L^4和L^6。此外，晶体还有对称面(P)、对称中心(
C)、旋转反伸轴、旋转反映轴等对称操作。晶体对称要素组合起来，共有32种对称型，
于是有32个晶类(具体分作3个晶族，7个晶系)。比如α石英晶体的对称型为L^33L^2
，含义是有一个3次轴、3个2次轴；石榴子石晶体的对称型为3L^44L^36L^29PC，含义为
有3个4次轴、4个3次轴、6个2次轴、9个对称面、一个对称中心。
有相同对称性的晶体，可以具有不同的形态，所以实际存在的晶体形态要比32种对称型
多。在结晶矿物学中，把由对称要素联系起来的一组晶面称作“单形”，同一单形的所
有晶面彼此相等。在几何形态上不同的单形一共有47种，也称“几何单形”。如果还要
考虑对称性的话，共有146种，称“结晶单形”。
晶体外表显示的对称类型都是由内部14种空间格子造成的。晶体外形是有限图形，其对
称要素不包括平移，对晶体外部形态的对称操作属于“点操作”，点操作对称要素的组
合称“点群”，共有32种，即前面提到的32种对称型。但晶体内部是无限图形，其对称
操作包括“平移”，晶体内部对称要素的组合称“空间群”，共有230种。
彻底弄清楚对称型和空间群，是相当困难的。目前学地质和学晶体化学的，都要下一番
功夫熟悉它们。
图7.3 荷兰画家埃舍尔的“骑士图”

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