Math 版 (精华区)

发信人: zjliu (Robusting), 信区: Math
标  题: 第九章 微分方程系统
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Jan  2 16:47:29 2003) , 转信

“瞧，我找到了!”
科学家找到了什么?找到了打开自然之门的钥匙，他们发现了大自然的组织奥秘，知道世
界 原来就是这般运行的。
在一般意义上说，这样理解不算错误，但是在哲学意义上，这种看法是有问题的，至少
显得 有些狂妄。人与自然的关系无论从对象的意义上看，还是从包含意义上看，都是复
杂的，人 类理解自然任何时候都一定是不全面的。人类的所有知识系统的总和如果与大
自然相比的话 ，仍然渺小得很。人们任何时候都不能得意地宣称自己完全理解了大自然
的运行，找到了一 切规律。
科学不是一天一天在进步吗?依靠科学人类不是取得了一个又一个辉煌技术成就吗?难道
人类 理智的进化不具有坚实的标准吗?
令人眼花缭乱的千奇百怪的技术通常让人们感觉人类太伟大了，今日的社会真正飞速发
展， 比以往任何时候发展得都快；人类是万物之灵，只有人类理解了自然的语言，知道
大自然的 规律。其实这是一种错觉，人类只是一个物种，今日社会与昨日社会甚至原始
社会发展步调 没什么两样，人类的自然生存能力不但没有发展，而且逐日下降。动物、
植物也理解大自然 的语言，如果说真的有什么语言的话，而且它们理解得也许并不比我
们差。
人是自然界的一部分，是自然演化链条中某个环节的产物，所以人与自然有相通、统一
的一 面，但人认识自然所达到的知识系统本身不是自然的全部，只是对大自然拙劣的摹
仿。在认 识框架中，人——自然——模型总是以三角关系存在的。模型有许多种，不同
人也使用不同 的模型，科学家所使用的模型一般有严格的定义，互相之间可以理解。
从数学角度最一般地看问题，迄今为止科学家使用的模型分两大类，一类是只与时间演
化 有关的模型，另一类是除了时间外还与空间变化有关的模型。前者叫拉格朗日型模型
 (Lagrangian models)，后者叫欧拉型模型(Eulerian models)。模型也就是函数，因而
前者 可简单表示为f(t),后者可简单表示为f(x,t)，其中 t代表时间，x代表空间。
在拉格朗日型模型中，只有时间t是独立变量，这类模型主要包括常微分方程 (ordinar
y differential equations,简记ODE)和差分方程(difference equations，简记 DE)，
后者也叫映射。此外还有格子映射(lattice maps,简记为LM)。用整数m和n 表示维数(方
程式的个数)，R记连续欧氏空间，Z记实整数,t代 表时间，x(t)代表模型(时间的函数)
。当t∈R,x (t)∈R^n时，有常微分方程。当t∈Z,x (t)∈R^n时，有差分方程。当t∈Z
,x( t)∈Z^n时，有格子映射。显然，至少还有一种重要的逻辑可能性，即t∈R,x(t)∈
Z^n，暂且叫它突变模型 (catastrophe models)。突变模型是很有价值的，它代表时间
连续变化，但物理量却离散变 化的类型，比如地震就是这种情况。
在欧拉型模型中，时间t和空间x都是独立变量。当时间和空间都是实的且连 续时，有偏
微分方程(partial differential equations,简记PDE)，用符号表示就是 t∈R,x∈R^n
，f(x,t)∈ R^m。若时间连续，空间取离散的元胞，在每个元胞内用m个函数描述演 化
规律(图灵(A.M.Turing,1912-1954)称描写元胞内演化规律的方程为“生形式” (morph
ogens),实际上是一组常微分方程)，这种模型可叫作元胞微分模型(cellular differen
tial models,简记为CDE)，用符号表示就是x∈R,x∈ Z^n，f(x,t)∈R^m。
当时间和空间都取离散值，而函数取连续值时，我们有耦合映射(coupled maps,简记CM
)， 用符号表示则为t∈Z,x∈Z^n,f(x ,t)∈R^m。最后一种是全部取离散值，对应于冯
·诺伊曼和乌 拉姆发明的元胞自动机(cellular automata,简记CA)，用符号表示则为t
∈Z ,x∈Z^n,f(x,t)∈Z^m。欧 拉型模型的任务是，如何将空间上定域性的规则与整体
时空动力学模式(patterns)联系起来 。这里的“模式”指空间位形的相关性，与拉格朗
日型模型中相空间变量的相关性不是一回 事。



--

※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 202.118.229.86]