Math 版 (精华区)

发信人: sniff (ah ah sniff!), 信区: Math
标  题: 分形维数(一)
发信站: 哈工大紫丁香 (2000年11月01日18:09:34 星期三), 站内信件

                    相似维数

    欧氏维数与拓扑维数的特点是集合的维数取整数。我们已看到，它不能对康托尘、

科契曲线和谢尔品斯基地毯等一类集合提供好的刻画。因此有必要引入新的维数，并将

其维数值拓广到分数。

    基于对图形特征的描述，可以提出相似维数。

    若一个集F由m个与它相似的部分组成且相似比为r，则认为F具有相似维数

        Ds=-logm/logr

    一个正方形由4个比例系数为1/2的与之相似的正方形组成，维数Ds=-log4/log(1/2

)=2。同样，康托尘可看成4个相似比为1/9的部分组成，则Ds=-log4/log(1/9)=log2/lo

g3。而科契曲线由4个相似比为1/3的部分组成，Ds=log4/log3。谢尔品斯基地毯，由8个

相似比为1/3的部分组成，Ds=log8/log3。而谢尔品斯基垫由3个相似比为1/2的部分构成

，Ds=log3/log2。

    在新的维数观点下，通常的那些正则集，其维数为整数，而对于奇异集合，其维数

都是分数。用直尺来量科契曲线或海岸线长度，当尺度趋于零时，量值为无穷。这是因

为量尺的维数与海岸线的维数不一致。因而可以用维数为log4/log3的尺子去量海岸线，

所得的长度是从长度推广来的一种测度，实际上它就是Hausdorff测度。

    注意：相似维数只对严格自相似的一小类集合有意义。

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