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标  题: S.S.chern 的微积分讲义(转载1-2）
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标  题: S.S.chern 的微积分讲义(转载1-2）
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标  题: S.S.chern 的微积分讲义(转载)
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【 以下文字转载自 Science 讨论区 】
【 原文由 plainnk 所发表 】

\begin{center} {\Large \bf\ziti{B} 第一讲\quad 微分与积分}\end{center}
\begin{center} 2001年10月11日\end{center}
{\ziti{B}（I）微积分的起源: 牛顿与莱布尼兹}
讲到微积分,最要紧的两个人是牛顿(Issac Newton, 1642-1727)跟莱布尼兹(Gottpied

Leibniz, 1646-1716), 微积分就是他们发现的. 关于牛顿, 有兴趣的是他做这个工作是

在学生的时候, 也许比你们的岁数还要小, 那个时候, 也就是17世纪那个时候, 欧洲瘟

疫很厉害, 欧洲死了很多人. 他在英国剑桥大学, 因为瘟疫的关系, 学校放假了, 他就

回家在家里做关于微积分的这些工作. 莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人, 数学是

他的兴趣的一部分, 他的兴趣到宗教、法律各方面都有. 他们两人之间有点争论, 是因

为争论谁是微积分的发现者. 这个争论是不幸的, 也没有什么意义. 实质上是莱布尼兹

头一个发表关于微积分论文的人, 他的论文在1684年发表. 牛顿做这个工作早于莱布尼

兹, 而莱布尼兹发表论文早于牛顿, 牛顿有了这个工作后没有发表什么任何的东西. 而

莱布尼兹不但发表了这些东西, 同时还引用了一些符号, 也许我们现在还在用. 那么后

来两个人有一个争论, 大概都是跟数学没有关系的人在那里造成的情况, 这不是一个什

么有意思的事情.
{\ziti{B} (II) 微积分基本定理}
微积分是数学里头很重要的方面. 至于什么是微积分呢？我想微分的发现跟笛卡儿发现

坐标非常有关系, 因为笛卡儿发现坐标之后, 数学主要的目的就是研究函数, 研究两组

数的关
系, 有种种的关系. 我们知道, 函数有种种, 有线性的, 非线性的, 三角函数等种种函

数,那么要怎么样地研究函数的性质? 我们都知道, 函数可以用曲线来表示, 如$y=f(x)

$ 这条曲线. 在这条曲线的每点, 如果它是可以微分的话, 那么它在每点有个切线. 微

分就是把这个曲线用它的切线来研究它的性质. 所以也等于说它是把函数线性化, 线性

化之后, 可以加、减、乘、除, 可以计算, 因此可以得到数出来. 数学要是能够得到数

出来, 总是很要紧的. 所以微分大概是说用曲线的切线来研究曲线的性质.
积分来得早了,因为积分实际上大致讲起来, 它是要计算面积. 那么假使平面上有一个区

域,
由曲线来做为边界, 它的面积有多大, 圆周的面积有多大, 这里的问题是积分的开始,

也是积分重要的目的. 因此, 实际上, 积分的发展在微分之前. 积分当时也没有一定的

定义, 积分就是有个极限的观念. 曲线所围城的区域一般想法子用直线来逼近, 使得逼

近的曲线趋于你的边界的时候, 就有个极限, 就是这个区域的面积. 所以, 总而言之,

积分的发展在微分之前. 中间这两个问题好象没有关系, 但是其实这关系非常的密切.

积分差不多是微分的反运算. 比方说, 假使你求这条直线跟两条垂线所成区域的面积,

这两条垂线, 一个是$s=a$,一个是$s=x$, 你要去算这个区域的面积, 是个定积分$\int

_a^xf(x)dx$, (读作$f(x)$定积分从$a\rightarrow x$). 这是当年莱布尼兹的符号, 这

个积分的符号记成这样, 因为积分总是代表一个和, $\int$代表和(sum). 假设面积一边

由$s=a$ 的直线作边界, 另一边是任意的$x$, 你把$x$这条直线移动的话, 就得到一个

$x$的函数, 这个函数, 我叫它$A(x)$, 就是我图上的面积, 是个积分, 所以它是一个数

目, 与$x$有关, 所以是$x$的函数. 这个函数跟曲线方程$y=f(x)$这个函数有密切关系

. 为什么有密切的关系呢？很简单地看看, 假如求$A(x)=\int_a^xf(x)dx$的微分, 求它

的微分嘛, 就是说, 求$s=x,x+\delta x$ 所围成的这个小条区域的面积. 现在如果你拿

$\delta x$除的话, 我想很容易看出来了, 这个极限就是$f(x)$. 所以很容易看出来$A

(x)$这个函数的微分就是$f(x)$, 因此
$$\frac{d A(x)}{dx}=f(x).\eqno(1.1)$$
这就是微分同积分的基本的关系. 这个关系说$A(x)$是一个积分, 求它的微分的时候,

就得$f(x)$. 这个一般地, 叫做微积分的基本定理. 我从前在南开念微积分的时候, 始

终不懂为什么这是一个微积分的基本定理, 因为一般地把这个关系式写成
$$\int f(x)dx|^b_a=\int^b_af(x)dx \eqno(1.2)$$
形状. 左边积分是个不定积分(indefinite integral), 不定积分是个函数, 左式是函数

在$b$的值减去函数在$a$的值, 等于这个定积分(definite integral). 所以从这个关系

知道要求积分的话, 只需要求一个函数, 它的微分是已知的,就是$f(x)$, 即微分是已知

的. 所以这样微分跟积分连起来了. 互相的, 积分等于微分的反运算, 有了$f(x)$, 要

找一个函数, 它的微分等于$f(x)$, 是个反运算. 因此微、积分有密切的关系.
{\ziti{B} (III) 多元微积分}
上面讲的是一个变数的微积分. 下面讲高维的, 要多变数的. 多变数的话, 有新的现象

, 是什么样的呢？我想对于多变数的, 我们先不看别的, 先看两个变数的情形, $x$跟$

y$, 那么我们知道这个时候微分的观念的推广是偏微分, 等于$x$跟$y$分开求微分. 积

分的观念推广是重积分. 二重积分(double integral) 是在2维的情形, 在高维的情形是

多重的. 先看2维, 2维的情形就有了区域, 我们叫它$\Delta$, 那么它的边界叫它$\ga

mma$. 所以积分的一个自然推广是一个2重积分, 普通积分把$x$分成小段, 然后取小段

再乘上这个函数, 求一个和. 在2重积分的时候, 方法也是把区域分成小块, 然后取每一

小块的面积, 在其上函数值乘上它的面积, 然后求它的和. 很不得了的, 假使函数好的

话, 无论你如何圈你的区域,极限是一样的, 所以这极限就是2重积分
$$I=\int\int f(x,y)dxdy.\eqno(1.3)$$
在2维的时候, 甚至高维的时候, 一个重要的现象是, 我们现在有2个变数$x,y$, 换变数

怎么样？所以我现在换变数, 换变数当然是在微积分里是很重要的一个办法, 因为很多

的问题是看你的变数是否选择得适当, 有时换变数, 问题就立刻简单化了, 就可以解决

了. 现在我换变数：
$$\left\{\matrix{ x=x(x',y')\cr y=y(x',y')\cr}\right.\eqno (1.4)$$
其中, $(x',y')$是另外一组坐标. 我们发现一个事实,在高维的时候,微分的乘法, 我们

写成 $dx\wedge dy$, 这是一个乘法, 怎么乘呢？ $dx\wedge dy$在微积分上是最微妙

的观点. 什么叫微分？什么是$dx$？这个是困扰了数学家几百年的事. 怎么样定微分的

定义跟究竟什么是$dx$, 这个很麻烦, 可以做到很满意, 不过把它讲清楚需要有一定的

时间. 所以我马马虎虎说有一个 $dx$. 在$dx,dy$这种微分之间要建立乘法$\wedge$.

什么叫$dx\wedge dy$？这个问题更复杂了, 你如果$dx,dy$本身是什么都不清楚, 乘了

以后是什么东西更是一个很微妙困难的问题. 在这方面有一个大的进步, 就是引进外代

数和外微分. 假定 $dx\wedge dy$这个乘法是反对称,
$$dx\wedge dy=-dy\wedge dx.\eqno (1.5)$$
这个问题就清楚简单了. 因为乘法如果是反对称的话,当然 $dx\wedge dx=0$. 事实上,

 因为$dx\wedge dx=-dx\wedge dx$, 所以$dx\wedge dx=0$, 在反对称的乘法之下, 把

 $dx\wedge dy$看成变数, 因为乘法是反对称的, $dx^2=0$, 所以就没有高次的东西了

. 这样得到的代数叫做外代数. 这个代数很妙的. 有一个立刻的结论：换变数公式为
$$dx\wedge dy=\frac{\partial (x,y)}{\partial (x',y')}dx'\wedge dy'.\eqno (1.

6)$$
假使我们的微分用的是偏微分, 所以
$$dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'+\frac{\partial x}{\partial y'}dy', dy

=\frac{\partial y}{\partial x'}dx'+\frac{\partial y}{\partial y'}dy'.\eqno (

1.7)$$
现在用外乘法一乘, $dx'\wedge dx'= dy'\wedge dy'=0$. 而$dx'\wedge dy'$因为乘法

是反对称的, 所以是刚好乘以$x=x(x',y'),y=y(x',y')$ 的雅可比$\frac{\partial (x

,y)}{\partial (x',y')}$, 这个符号是雅可比, 是四个偏微分所成的行列式, 所以
$$dx\wedge dy=\frac{\partial (x,y)}{\partial (x',y')}dx'\wedge dy'.\eqno (1.

8)$$
这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系.我们知道重积分要是换变数的话, 它应该乘上

雅可比. 所以这个结论就是, 对重积分的Integral, 即积分下的式子, 把积分号丢掉,

Integral是一个微分多项式, 乘法是反对称的. 所以假使多重积分有3维, 4维到$n$ 维

的空间, 多重积分的Integral可看成是外代数的多项式, 那么换变数就自然对了. 这里

头有一点微妙的地方, 因为通常, 你要证明换变数的公式的时候, 假定雅可比是正的,

不然的话, 乘上雅可比的绝对值, 使它是正的. 这个是高维几何微妙的东西, 就是空间

有个向(Orietation),你转的时候, 有2个相反转的方向. 转的时候, 假使改了方向的话

, 雅可比是负值, 因此我们一个结论是多重积分的Integral应该是一个外代数多项式,

是$dx,dy$的多项式, 乘法是反对称, 这样换变数完全可以对的, 当然我只做了2维的例

子. 高维是很明显的, 同样的.外乘法是妙得很呐, 是不会有高次的, 所以比较简单, 平

方一下,就是0.
{\ziti{B} (IV) 外微分}
上面讲了这么样一种关系, 甚至这关系还更要好, 我们讲高等微积分的时候, 一个重要

的定理是格林定理(Green's Theorem). 就是说, 假使你有个区域, 在边界上的微分是可

以变为区域上的微分, 是一个一重积分和二重积分的关系, 这是个非常重要的关系. 比

方龚升教授有一本小书, 讲到这个关系, 他认为这是整个微积分的基本定理, 我是同意

的. 这样的关系现在通常写格林定理的时候, 往往是写成有积分,
$$\int_{\gamma}Adx+bdy=(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\par

tial y})dxdy.\eqno (1.9)$$
如果有一个问题, 有时候你可以只管Integral, 不要管其它, 那么Integral就是把一个

一次微分式变为两次微分式, 这怎么变呢？公式定理是这样子: 我就引入一个外微分,

我们刚才讲$dx\wedge dy$ 是一个多项式, 是一个外代数的一个式子, 就象我们普通多

项式一样,不但如此, 对于这样的式子, 我们还可以定义它一个微分,
$$d(Adx+Bdy)=dA\wedge dx+dB\wedge dy=A_y dy\wedge dx+B_xdx\wedge dy.\eqno (1

.10)$$
叫外微分(Exterior differential calculus). 外微分很简单, 假设有$Adx+Bdy$, 它的
微分就是微分它的系数, 也就是微分函数. $A$与$B$是$x,y$的函数, 所以就微分$A,B$

. $A$的微分就是$A_xdx+A_ydy$, $B$的微分就是$B_xdx+B_ydy$, 可是$A_xdx\wedge d

x=0$ 就得到$A_ydy\wedge dx$, 第二项就得 $B_xdx\wedge dy$. 但是因为乘法是反对

称的, 所以就得$(B_x-A_y)$, 这是格林定理里头 2重积分的系数, 所以格林定理把单次

积分变成两次积分, 它的Integral实际上是个外微分. 可以看出外微分是很妙的东西,

因此你可以把积分号丢掉, 就说我们拿 $dx,dy$造一个外代数, 对这个外代数有个外微

分, 外微分很简单, 就是假使微分各项的时候, 其实是对每项系数?
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